Use the definition of continuity and the properties of limits to show that the function is continuous at the given number a.
f(x)=\left(x+2 x^{3}\right)^{4}, \quad a=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x) = \bigl(x + 2x^{3}\bigr)^{4}
é contínua em a = -1. Para isso usaremos a definição de continuidade em a:
\lim_{x \to a} f(x) = f(a),
e as propriedades de limites (soma, múltiplo escalar, potência).

Passo 2

Calcular f(a). Substituindo x = -1 em f(x):
f(-1) = \bigl((-1) + 2(-1)^{3}\bigr)^{4} = \bigl(-1 - 2\bigr)^{4} = (-3)^{4} = 81.

Passo 3

Aplicar a propriedade de limites para função composta de soma e potência:
\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \bigl(x + 2x^{3}\bigr)^{4} = \Bigl(\lim_{x \to -1} \bigl(x + 2x^{3}\bigr)\Bigr)^{4},
pois a função “elevar à quarta potência” é contínua e o limite interior existe.

Passo 4

Calcular o limite interior usando as propriedades de soma e monômio:
\lim_{x \to -1} \bigl(x + 2x^{3}\bigr) = \lim_{x \to -1} x \;+\; 2\,\lim_{x \to -1} x^{3} = (-1) + 2\cdot(-1)^{3} = -1 - 2 = -3.

Passo 5

Portanto,
\lim_{x \to -1} f(x) = (-3)^{4} = 81.

Passo 6

Como
\lim_{x \to -1} f(x) = 81 \quad\text{e}\quad f(-1) = 81,
segue da definição que f é contínua em a = -1.

Resposta

A função f(x) = \bigl(x + 2x^{3}\bigr)^{4} é contínua em a = -1.

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