Explain why each function is continuous or discontinuous.
(d) The cost of a taxi ride as a function of the distance traveled

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função f que dá o custo de uma corrida de táxi em função da distância x percorrida. Vamos usar o conceito de continuidade: f é contínua num ponto x_0 se e somente se
\lim_{x\to x_0^-}f(x) =\lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0).
Como na prática o táxi cobra uma bandeirada fixa mais acréscimos em incrementos de distância (por exemplo, a cada \Delta metros), isso gera saltos no gráfico de f.

Passo 2

Modelamos os custos assim: existe tarifa de bandeirada B e custo por quilômetro r, mas esse custo é cobrado em “pulos” de tamanho \Delta. Uma forma compacta é
f(x)=B + r \,\Bigl\lceil \frac{x}{\Delta}\Bigr\rceil,
onde \lceil y\rceil é o menor inteiro maior ou igual a y. Logo, em cada intervalo (k\Delta,(k+1)\Delta] o valor de f é constante e, ao ultrapassar um múltiplo de \Delta, o valor “salta” para o próximo patamar.

Passo 3

Em qualquer ponto x_0 que não seja múltiplo de \Delta, existe um pequeno intervalo em torno de x_0 em que \lceil x/\Delta\rceil não muda de valor. Assim, f é constante nesse entorno e, portanto,
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),
logo f é contínua em todo ponto que não seja múltiplo exato de \Delta.

Passo 4

Em um ponto crítico x_0=k\Delta, com k\in\mathbb{N}, temos
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=B + r\,k \quad\text{e}\quad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=B + r\,(k+1).
Como \lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim_{x\to x_0^+}f(x), não existe limite em x_0; logo f é descontínua em cada k\Delta.

Resposta

A função do custo é descontínua nos pontos em que a distância ultrapassa exatamente um múltiplo de \Delta (onde ocorre cada incremento de tarifa) e é contínua em todos os outros x.

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