Explain why each function is continuous or discontinuous.
(d) The cost of a taxi ride as a function of the distance traveled
(d) The cost of a taxi ride as a function of the distance traveled
Passo 1
O enunciado pede para analisar a continuidade da função
que dá o custo de uma corrida de táxi em função da distância
percorrida. Vamos usar o conceito de continuidade:
é contínua num ponto
se e somente se
Como na prática o táxi cobra uma bandeirada fixa mais acréscimos em incrementos de distância (por exemplo, a cada
metros), isso gera saltos no gráfico de
.
Passo 2
Modelamos os custos assim: existe tarifa de bandeirada
e custo por quilômetro
, mas esse custo é cobrado em “pulos” de tamanho
. Uma forma compacta é
onde
é o menor inteiro maior ou igual a
. Logo, em cada intervalo
o valor de
é constante e, ao ultrapassar um múltiplo de
, o valor “salta” para o próximo patamar.
Passo 3
Em qualquer ponto
que não seja múltiplo de
, existe um pequeno intervalo em torno de
em que
não muda de valor. Assim,
é constante nesse entorno e, portanto,
logo
é contínua em todo ponto que não seja múltiplo exato de
.
Passo 4
Em um ponto crítico
, com
, temos
Como
, não existe limite em
; logo
é descontínua em cada
.
Resposta
A função do custo é descontínua nos pontos em que a distância ultrapassa exatamente um múltiplo de
(onde ocorre cada incremento de tarifa) e é contínua em todos os outros
.