Use the definition of continuity and the properties of limits to show that the function is continuous at the given number a.
f(x)=x^{2}+\sqrt{7-x}, \quad a=4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x) = x^{2} + \sqrt{7 - x}
é contínua em a = 4. Lembrando a definição de continuidade num ponto: f é contínua em a se e somente se
\lim_{x \to a} f(x) = f(a).
Vamos então calcular \lim_{x \to 4} f(x) usando as propriedades de limite e comparar com f(4).

Passo 2

Usamos a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites (quando ambos existem):
\lim_{x \to 4} \bigl(x^{2} + \sqrt{7 - x}\bigr) = \lim_{x \to 4} x^{2} + \lim_{x \to 4} \sqrt{7 - x}.

Passo 3

Calculamos cada limite separadamente. Primeiro, como x^{2} é polinômio (função contínua em toda parte),
\lim_{x \to 4} x^{2} = 4^{2} = 16.

Passo 4

Depois, observamos que g(x) = \sqrt{7 - x} é a composição da função polinomial 7 - x com a função raiz quadrada, esta última contínua em todos os pontos de seu domínio. Logo,
\lim_{x \to 4} \sqrt{7 - x} = \sqrt{\lim_{x \to 4} (7 - x)} = \sqrt{7 - 4} = \sqrt{3}.

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
\lim_{x \to 4} f(x) = 16 + \sqrt{3}.
Agora, calculemos f(4):
f(4) = 4^{2} + \sqrt{7 - 4} = 16 + \sqrt{3}.
Como \lim_{x \to 4} f(x) = f(4), a definição de continuidade em a=4 está satisfeita.

Resposta

A função f(x)=x^{2}+\sqrt{7-x} é contínua em a=4 porque
\lim_{x \to 4} f(x) = 16 + \sqrt{3} = f(4).

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