Use the function f(x)=-x^{2}+3 x+10 to answer the following.
a. On the interval [2,6], what is the average rate of change?
\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{(-36+18+10)-(-4+6+10)}{4}=\frac{-20}{4}=-5
b. On the interval (2,6), when does the instantaneous rate of change equal the average rate of change?
\begin{aligned} & -2 x+3=-5 \\\ & -2 x=-8 \end{aligned}
x=4

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x^{2}+3x+10 e pede duas coisas: \n
  1. Na interval [2,6], calcular a taxa média de variação, isto é \dfrac{f(6)-f(2)}{6-2}. \n
  2. No intervalo aberto (2,6), encontrar o(s) ponto(s) x onde a taxa instantânea de variação (a derivada f'(x)) é igual à taxa média encontrada na parte (a). \n
    As informações relevantes que temos: a expressão explícita f(x)=-x^{2}+3x+10, o intervalo fechado [2,6] para a média e o intervalo aberto (2,6) para comparar com a derivada. Nada mais é pedido.

Passo 2

Entender o que é a taxa média de variação: \n
A taxa média de variação de f entre x=a e x=b é a inclinação da reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A fórmula é
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Aqui a=2 e b=6. Vou calcular f(2) e f(6) passo a passo. \n
Calcule f(2): f(2)=-(2)^{2}+3\cdot 2+10=-4+6+10=12.
Calcule f(6): f(6)=-(6)^{2}+3\cdot 6+10=-36+18+10=-8.
Agora a taxa média: \frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{-8-12}{4}=\frac{-20}{4}=-5.
Interpretação: em média, sobre o intervalo [2,6], f diminui à taxa de -5 unidades de f por unidade de x.

Passo 3

Entender a taxa instantânea de variação: \n
A taxa instantânea de variação de f num ponto x é a derivada f'(x). A derivada dá a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto. Para polinômios usamos regras básicas: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. \n
Derivando f(x)=-x^{2}+3x+10: f'(x)=-2x+3.
Isto significa que a inclinação da reta tangente em qualquer x é -2x+3.

Passo 4

Igualar a taxa instantânea à taxa média e resolver: \n
Queremos f'(x)=-5 (porque a taxa média que encontramos foi -5). Escrevo a equação e resolvo passo a passo: -2x+3=-5.
Subtraio 3 dos dois lados: -2x=-8.
Divido por -2: x=4.
Verificação: x=4 está no intervalo aberto (2,6), portanto é uma solução válida. \n
Comentário teórico (útil na prova): como f é polinomial, ela é contínua em [2,6] e diferenciável em (2,6), então o Teorema do Valor Médio garante que existe pelo menos um c\in(2,6) com f'\text{(c)} igual à taxa média. Aqui encontramos exatamente c=4.

Resposta

a. -5\n
b. x=4

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