Use the function
to answer the following.
a. On the interval
, what is the average rate of change?
b. On the interval
, when does the instantaneous rate of change equal the average rate of change?
a. On the interval
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: \n
- Na interval
, calcular a taxa média de variação, isto é . \n - No intervalo aberto
, encontrar o(s) ponto(s) onde a taxa instantânea de variação (a derivada ) é igual à taxa média encontrada na parte (a). \n
As informações relevantes que temos: a expressão explícita, o intervalo fechado para a média e o intervalo aberto para comparar com a derivada. Nada mais é pedido.
Passo 2
Entender o que é a taxa média de variação: \n
A taxa média de variação de entre
e
é a inclinação da reta secante que liga os pontos
e
. A fórmula é
A taxa média de variação de
Aqui
e
. Vou calcular
e
passo a passo. \n
Calcule
:
Calcule
:
Agora a taxa média:
Interpretação: em média, sobre o intervalo
,
diminui à taxa de
unidades de
por unidade de
.
Passo 3
Entender a taxa instantânea de variação: \n
A taxa instantânea de variação de num ponto
é a derivada
. A derivada dá a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto. Para polinômios usamos regras básicas: a derivada de
é
, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. \n
A taxa instantânea de variação de
Derivando
:
Isto significa que a inclinação da reta tangente em qualquer
é
.
Passo 4
Igualar a taxa instantânea à taxa média e resolver: \n
Queremos
(porque a taxa média que encontramos foi
). Escrevo a equação e resolvo passo a passo:
Subtraio
dos dois lados:
Divido por
:
Verificação:
está no intervalo aberto
, portanto é uma solução válida. \n
Comentário teórico (útil na prova): como é polinomial, ela é contínua em
e diferenciável em
, então o Teorema do Valor Médio garante que existe pelo menos um
com
igual à taxa média. Aqui encontramos exatamente
.
Comentário teórico (útil na prova): como
Resposta
a.
\n
b.
b.