Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
(a) y^{\prime \prime}+y=\csc x
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
y''+y=\csc x
usando o Método da Variação dos Parâmetros. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes no lado de y e termo independente \csc x.
O termo \csc x só está definido quando \sin x\neq0. Logo a solução será válida em intervalos onde \sin x\neq0, por exemplo em (k\pi,(k+1)\pi) para k\in\mathbb{Z}.
Precisamos obter a solução geral y(x), que será a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
Resolvemos primeiro a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Para essa equação consideramos a equação característica \;r^{2}+1=0\;, cujas raízes são r=\pm i. Assim as soluções fundamentais reais são
y_{1}(x)=\cos x,\qquad y_{2}(x)=\sin x.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Ideia do Método da Variação dos Parâmetros (explicação didática):
Em vez de C_{1},C_{2} constantes, procuramos funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que uma solução particular se escreva
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Para determinar u_{1} e u_{2} impomos as duas condições padrão (para simplificar o sistema):
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
e
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x),
onde r(x) é o lado direito da equação escrita na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x). No nosso caso p(x)=0, q(x)=1 e r(x)=\csc x.
Essas duas equações lineares para u_{1}' e u_{2}' podem ser resolvidas usando o Wronskiano
Observação importante (e prática na variação de parâmetros): as constantes de integração C_{a},C_{b} podem ser desprezadas aqui porque qualquer termo constante multiplicado por y_{1} ou y_{2} se incorpora na solução homogênea y_{h}. Logo, para construir uma solução particular escolhemos as primitivas sem as constantes: