Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
(a) y^{\prime \prime}+y=\csc x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
y''+y=\csc x
usando o Método da Variação dos Parâmetros. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes no lado de y e termo independente \csc x.
  • O termo \csc x só está definido quando \sin x\neq0. Logo a solução será válida em intervalos onde \sin x\neq0, por exemplo em (k\pi,(k+1)\pi) para k\in\mathbb{Z}.
  • Precisamos obter a solução geral y(x), que será a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Para essa equação consideramos a equação característica \;r^{2}+1=0\;, cujas raízes são r=\pm i. Assim as soluções fundamentais reais são
y_{1}(x)=\cos x,\qquad y_{2}(x)=\sin x.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Ideia do Método da Variação dos Parâmetros (explicação didática):
  • Em vez de C_{1},C_{2} constantes, procuramos funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que uma solução particular se escreva
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
  • Para determinar u_{1} e u_{2} impomos as duas condições padrão (para simplificar o sistema):
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
e
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x),
onde r(x) é o lado direito da equação escrita na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x). No nosso caso p(x)=0, q(x)=1 e r(x)=\csc x.
  • Essas duas equações lineares para u_{1}' e u_{2}' podem ser resolvidas usando o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}.
As fórmulas diretas (padrão) para u_{1}' e u_{2}' são
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,r(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,r(x)}{W(x)}.
Vou aplicar essas fórmulas ao nosso caso.

Passo 4

Escolhemos y_{1}(x)=\cos x e y_{2}(x)=\sin x. Calculamos o Wronskiano:
W(x)=\begin{vmatrix}\cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix} =\cos x\cos x-(-\sin x)\sin x=\cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
Como W(x)=1 a aplicação das fórmulas fica bem simples.

Passo 5

Aplicamos as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com r(x)=\csc x:
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,r(x)}{W(x)}=-\sin x\cdot\csc x=-1,
u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,r(x)}{W(x)}=\cos x\cdot\csc x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.
Expliquei cada passo: \sin x\cdot\csc x=1 (por definição de cosecante) e \cot x=\cos x/\sin x.

Passo 6

Integramos u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}:
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int (-1)\,dx=-x + C_{a},
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int \cot x\,dx=\ln\!\bigl|\sin x\bigr| + C_{b}.
Observação importante (e prática na variação de parâmetros): as constantes de integração C_{a},C_{b} podem ser desprezadas aqui porque qualquer termo constante multiplicado por y_{1} ou y_{2} se incorpora na solução homogênea y_{h}. Logo, para construir uma solução particular escolhemos as primitivas sem as constantes:
u_{1}(x)=-x,\qquad u_{2}(x)=\ln\!\bigl|\sin x\bigr|.

Passo 7

Construímos a solução particular usando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(x) = (-x)\cos x + \ln\!\bigl|\sin x\bigr|\cdot\sin x = -x\cos x + \sin x\ln\!\bigl|\sin x\bigr|.

Passo 8

Verificação (para entender e confiar no resultado): calculo y_{p}' e y_{p}'' e mostro que y_{p}''+y_{p}=\csc x.
Calcule y_{p}':
y_{p}' = \frac{d}{dx}(-x\cos x)+\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\ln|\sin x|\bigr) = -\cos x + x\sin x + \cos x\ln|\sin x| + \sin x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}.
Simplificando \sin x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\cos x e agrupando:
y_{p}'=x\sin x + \cos x\ln|\sin x|.
Agora y_{p}'':
y_{p}''=\frac{d}{dx}\bigl(x\sin x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\ln|\sin x|\bigr) =\sin x + x\cos x + \bigl(-\sin x\ln|\sin x|+\cos x\cdot\cot x\bigr).
Usando \cos x\cdot\cot x=\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\cos^{2}x}{\sin x}, temos
y_{p}''=\sin x + x\cos x -\sin x\ln|\sin x| + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}.
Somando y_{p}''+y_{p}:
y_{p}''+y_{p}=\bigl(\sin x + x\cos x -\sin x\ln|\sin x| + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}\bigr) +(-x\cos x + \sin x\ln|\sin x|).
Os termos x\cos x e -x\cos x cancelam; os termos -\sin x\ln|\sin x| e +\sin x\ln|\sin x| também cancelam. Resta
y_{p}''+y_{p}=\sin x + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x}=\csc x.
Portanto y_{p} satisfaz a equação, verificação OK.

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x -x\cos x + \sin x\ln\!\bigl|\sin x\bigr|,
válida em qualquer intervalo onde \sin x\neq0 (por exemplo (k\pi,(k+1)\pi), k\in\mathbb{Z}). As constantes C_{1},C_{2} são arbitrárias reais.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x -x\cos x + \sin x\ln\!\bigl|\sin x\bigr|

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