Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the specified axis.
; about the
-axis
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede\n
- Curvas fornecidas:
, , .\n - Eixo de rotação: o eixo
-axis (eixo ).\n - O que é pedido: o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada por essas curvas em torno do eixo
.\n - Informações úteis (obtidas diretamente das curvas): em
temos , e a interseção entre e ocorre quando , isto é em .\n - Logo, a região no plano é descrita por
e, para cada nessa faixa, . A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Por que usar cascas cilíndricas e como é a ideia\n
- O enunciado pede explicitamente o método das cascas cilíndricas; seguimos isso.\n
- Intuição do método das cascas cilíndricas: ao rotacionar uma faixa horizontal da região em torno do eixo
, essa faixa gera uma casca cilíndrica. Cada casca tem:\n - raio igual à distância dela ao eixo , isto é o próprio valor de ;\n - altura igual ao comprimento horizontal da região para aquele valor de (diferença entre as abscissas direita e esquerda);\n - espessura igual a .\n- A fórmula do volume de uma casca elemental é\n - Como o raio é medido ao longo de
, integraremos em (ou seja, usaremos ).
Passo 3
Expressar altura e limites em função de
\n
- Precisamos da abscissa direita da região em função de
. Da curva temos .\n - A abscissa esquerda da região é
.\n - Portanto, para um dado
a altura horizontal da casca é
- O intervalo de
que percorremos vai do menor da região até o maior: do na interseção com (que é ) até . Logo .\n - Substituindo na fórmula da casca, o volume total é
ou seja
Passo 4
Calcular a integral
passo a passo\n
- Fatoramos
que é constante:
- Vamos calcular a primitiva de
por integração por partes. Lembre a fórmula: para funções e ,
- Escolhemos
(assim ) e (assim ).\n - Aplicando integração por partes:
- Calcule a integral restante:
- Portanto a primitiva é
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites e simplificar\n
- Usando a primitiva encontrada,
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
- Subtraindo (valor em
menos valor em ):
- Multiplicando por
: