Use the method of cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by the given curves about the specified axis.
y=e^{x}, x=0, y=\pi; about the x-axis

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede\n
  • Curvas fornecidas: y=e^{x}, x=0, y=\pi.\n
  • Eixo de rotação: o eixo x-axis (eixo x).\n
  • O que é pedido: o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada por essas curvas em torno do eixo x.\n
  • Informações úteis (obtidas diretamente das curvas): em x=0 temos y=e^{0}=1, e a interseção entre y=e^{x} e y=\pi ocorre quando e^{x}=\pi, isto é em x=\ln\pi.\n
  • Logo, a região no plano é descrita por 0\le x\le \ln\pi e, para cada x nessa faixa, e^{x}\le y\le \pi. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Por que usar cascas cilíndricas e como é a ideia\n
  • O enunciado pede explicitamente o método das cascas cilíndricas; seguimos isso.\n
  • Intuição do método das cascas cilíndricas: ao rotacionar uma faixa horizontal da região em torno do eixo x, essa faixa gera uma casca cilíndrica. Cada casca tem:\n - raio igual à distância dela ao eixo x, isto é o próprio valor de y;\n - altura igual ao comprimento horizontal da região para aquele valor de y (diferença entre as abscissas direita e esquerda);\n - espessura igual a dy.\n- A fórmula do volume de uma casca elemental é\n dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot ( \text{espessura}).
  • Como o raio é medido ao longo de y, integraremos em y (ou seja, usaremos dy).

Passo 3

Expressar altura e limites em função de y\n
  • Precisamos da abscissa direita da região em função de y. Da curva y=e^{x} temos x=\ln y.\n
  • A abscissa esquerda da região é x=0.\n
  • Portanto, para um dado y a altura horizontal da casca é
\text{altura} = x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} = \ln y - 0 = \ln y.
  • O intervalo de y que percorremos vai do menor y da região até o maior: do y na interseção com x=0 (que é 1) até y=\pi. Logo 1\le y\le \pi.\n
  • Substituindo na fórmula da casca, o volume total é
V=\int_{y=1}^{y=\pi} 2\pi\;(\text{raio}=y)\;(\text{altura}=\ln y)\;dy
ou seja
V = \int_{1}^{\pi} 2\pi\, y\ln y \; dy.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{\pi} 2\pi\, y\ln y \; dy passo a passo\n
  • Fatoramos 2\pi que é constante:
V = 2\pi \int_{1}^{\pi} y\ln y \; dy.
  • Vamos calcular a primitiva de y\ln y por integração por partes. Lembre a fórmula: para funções u e v,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
  • Escolhemos u=\ln y (assim du=\dfrac{1}{y}dy) e dv=y\,dy (assim v=\dfrac{y^{2}}{2}).\n
  • Aplicando integração por partes:
\int y\ln y \; dy = \frac{y^{2}}{2}\ln y - \int \frac{y^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y}\; dy = \frac{y^{2}}{2}\ln y - \int \frac{y}{2}\; dy.
  • Calcule a integral restante:
\int \frac{y}{2}\; dy = \frac{1}{2}\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{4}.
  • Portanto a primitiva é
\int y\ln y \; dy = \frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4} + C.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites e simplificar\n
  • Usando a primitiva encontrada,
V = 2\pi \left[\frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4}\right]_{y=1}^{y=\pi}.
  • Avaliando em y=\pi:
\left.\frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4}\right|_{y=\pi} = \frac{\pi^{2}}{2}\ln\pi - \frac{\pi^{2}}{4}.
  • Avaliando em y=1:
\left.\frac{y^{2}}{2}\ln y - \frac{y^{2}}{4}\right|_{y=1} = \frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}.
  • Subtraindo (valor em \pi menos valor em 1):
\frac{\pi^{2}}{2}\ln\pi - \frac{\pi^{2}}{4} -\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi^{2}}{2}\ln\pi - \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{1}{4}.
  • Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi\left(\frac{\pi^{2}}{2}\ln\pi - \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{1}{4}\right) = \pi^{3}\ln\pi - \frac{\pi^{3}}{2} + \frac{\pi}{2}.

Resposta

\pi^{3}\ln\pi - \dfrac{\pi^{3}}{2} + \dfrac{\pi}{2}

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