use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea
usando o método da variação de parâmetros.
O conteúdo envolve:
– resolver a equação homogênea associada;
– escolher três soluções independentes ;
– montar o ansatz e determinar por um sistema conveniente;
– integrar para obter e então ;
– a solução geral será .
Passo 2
Primeiro achamos a solução da homogênea
A equação característica é
com raízes . Logo
Passo 3
Para a variação de parâmetros tomamos
Impondo o sistema padrão
temos três equações lineares para u1',u2',u3'.
Passo 4
Da segunda equação
-,u2'sin t + u3'cos t = 0 Longrightarrow u3' = u2',tan t
Substituindo na terceira,
-,u2'cos t - u3'sin t = -,u2'cos t - u2'tan t,sin t = -u2'cos t =tan t ;Longrightarrow; u2' = -sin t,
e então
u3' = -sin t;tan t = -,sin^2 tcos t
Passo 5
Da primeira equação
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0 Longrightarrow u1' = -l(u2'cos t + u3'sin tr) = tan t
Integrando (sem constantes de integração, pois isso é só para yp):
u1(t)=integral tan t,dt = -lnlvertcos trvert, u2(t)=integral (-sin t),dt = cos t,
u3(t) =integral -,sin^2 tcos t,dt = -integralsec t,dt + integralcos t,dt = -lnl|sec t+tan tr| + sin t
Passo 6
Agora montamos
yp=u1 + u2cos t + u3sin t
Substituindo:
yp = -lnlvertcos trvert + cos^2 t + l(-ln|sec t+tan t|+sin tr)sin t