use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime+y^prime=tan t, 0<t<pi

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea
y''' + y' = tan t, 0<t<pi
usando o método da variação de parâmetros.
O conteúdo envolve:
– resolver a equação homogênea associada;
– escolher três soluções independentes y1,y2,y3;
– montar o ansatz yp=u1y1+u2y2+u3y3 e determinar ui'(t) por um sistema conveniente;
– integrar para obter ui(t) e então yp;
– a solução geral será y=yh+yp.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea
y'''+y'=0
A equação característica é
r^3 + r = r,(r^2+1)=0
com raízes r=0,pm i. Logo
yh(t)=C1 + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Para a variação de parâmetros tomamos
yp=u1(t)cdot1 + u2(t)cos t + u3(t)sin t
Impondo o sistema padrão
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0, 0,+,u2'(-sin t)+u3'(cos t)=0, 0,+,u2'(-cos t)+u3'(-sin t)=tan t,
temos três equações lineares para u1',u2',u3'.

Passo 4

Da segunda equação
-,u2'sin t + u3'cos t = 0 Longrightarrow u3' = u2',tan t
Substituindo na terceira,
-,u2'cos t - u3'sin t = -,u2'cos t - u2'tan t,sin t = -u2'cos t =tan t ;Longrightarrow; u2' = -sin t,
e então
u3' = -sin t;tan t = -,sin^2 tcos t

Passo 5

Da primeira equação
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0 Longrightarrow u1' = -l(u2'cos t + u3'sin tr) = tan t
Integrando (sem constantes de integração, pois isso é só para yp):
u1(t)=integral tan t,dt = -lnlvertcos trvert, u2(t)=integral (-sin t),dt = cos t,
u3(t) =integral -,sin^2 tcos t,dt = -integralsec t,dt + integralcos t,dt = -lnl|sec t+tan tr| + sin t

Passo 6

Agora montamos
yp=u1 + u2cos t + u3sin t
Substituindo:
yp = -lnlvertcos trvert + cos^2 t + l(-ln|sec t+tan t|+sin tr)sin t
Como cos^2 t+sin^2 t=1, isso se simplifica para
yp = 1 - lnlvertcos trvert ;-;sin t;lnl|sec t+tan tr|

Resposta

A solução geral é
boxed y(t) = C1 + C2cos t + C3sin t ;+;1 - lnlvertcos trvert ;-;sin t,lnl|sec t+tan tr|

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