(30 pontos)
(a) (10 pontos) Seja f(x)=x^2-3 x. Mostre, sem derivar f, que existe um número c in[0,3] tal que f^prime(c)=0.
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação: y^2 x+x^2 y+x y^3=3. Calcule d yd x e encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos mostrar que existe cin[0,3] tal que f'(c)=0 para a função
f(x)=x^2-3x,
sem calcular explicitamente f'(x). O conteúdo aqui é o Teorema de Rolle, que garante um ponto com derivada zero sempre que f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b).
Na parte (b) temos a curva implícita
y^2x + x^2y + xy^3 = 3
e precisamos obter tfracdydx por diferenciação implícita (regra do produto e da cadeia) e achar a reta tangente em (1,1).

Passo 2

Para a parte (a), note que
f(0)=0^2-3cdot0=0,
f(3)=3^2-3cdot3=9-9=0
Como f é polinomial, ela é contínua em [0,3] e diferenciável em (0,3). Pelo Teorema de Rolle existe então cin(0,3) tal que
f'(c)=0

Passo 3

Para a parte (b) usamos diferenciação implícita na equação
y^2x + x^2y + xy^3 = 3
Cada termo é um produto de funções de x e y, então aplicamos a regra do produto e lembramos de multiplicar por y'=tfracdydx toda vez que derivamos y.

Passo 4

Diferenciando termo a termo em x obtemos
ddx(y^2x)=2xy,y' + y^2,
ddx(x^2y)=2xy + x^2y',
ddx(xy^3)=y^3 + 3xy^2y',
e a derivada de 3 é zero. Somando tudo:
2xy,y' + y^2 + 2xy + x^2y' + y^3 + 3xy^2y' = 0

Passo 5

Agrupando os termos com y' e os sem y') resulta
(2xy + x^2 + 3xy^2),y' + (y^2 + 2xy + y^3) = 0,
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y' = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2

Passo 6

Em (x,y)=(1,1) temos
y'l|(1,1) = -1^2 + 2cdot1cdot1 + 1^32cdot1cdot1 + 1^2 + 3cdot1cdot1^2 = -46 = -23

Passo 7

A reta tangente em (1,1) tem coeficiente angular m=-tfrac23 e passa por (1,1). Assim,
y - 1 = -23,(x - 1)

Resposta

(a) Como f(0)=f(3)=0 e f é contínua em [0,3] e diferenciável em (0,3), pelo Teorema de Rolle existe cin(0,3) tal que f'(c)=0.
(b)
dydx = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2,
em (1,1) resulta m=-tfrac23 e a reta tangente é
y - 1 = -23(x - 1)

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