(30 pontos)
(a) (10 pontos) Seja . Mostre, sem derivar , que existe um número tal que .
(b) (20 pontos) Considere a curva dada pela equação: . Calcule e encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos mostrar que existe tal que para a função
sem calcular explicitamente . O conteúdo aqui é o Teorema de Rolle, que garante um ponto com derivada zero sempre que é contínua em , diferenciável em e .
Na parte (b) temos a curva implícita
e precisamos obter por diferenciação implícita (regra do produto e da cadeia) e achar a reta tangente em .
Passo 2
Para a parte (a), note que
Como é polinomial, ela é contínua em e diferenciável em . Pelo Teorema de Rolle existe então tal que
Passo 3
Para a parte (b) usamos diferenciação implícita na equação
Cada termo é um produto de funções de e , então aplicamos a regra do produto e lembramos de multiplicar por toda vez que derivamos .
Passo 4
Diferenciando termo a termo em obtemos
e a derivada de é zero. Somando tudo:
Passo 5
Agrupando os termos com e os sem resulta
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Passo 6
Em temos
Passo 7
A reta tangente em (1,1) tem coeficiente angular m=-tfrac23 e passa por (1,1). Assim,
y - 1 = -23,(x - 1)
Resposta
(a) Como f(0)=f(3)=0 e f é contínua em [0,3] e diferenciável em (0,3), pelo Teorema de Rolle existe cin(0,3) tal que f'(c)=0.
(b) dydx = -y^2 + 2xy + y^32xy + x^2 + 3xy^2,
em (1,1) resulta m=-tfrac23 e a reta tangente é