Calcule as derivadas da funções abaixo
f(x)=arctan ^3(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(arctan(2x)r)^3
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para funções compostas e a fórmula
ddxl(arctan(u)r)=u'1+u^2

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, seja
u(x)=arctan(2x),
de modo que
f(x)=l(u(x)r)^3
Então, pela regra da cadeia,
f'(x)=3l(u(x)r)^2,u'(x)

Passo 3

Agora calculamos
u'(x)=ddxl(arctan(2x)r)
usando a fórmula da derivada de arctan com u=2x, cuja derivada é u'=2. Logo,
u'(x)=21+(2x)^2=21+4x^2

Passo 4

Substituindo u(x)=arctan(2x) e u'(x) em f'(x)=3u^2u', temos
f'(x) =3l(arctan(2x)r)^2cdot21+4x^2 =6,l(arctan(2x)r)^21+4x^2

Resposta

f'(x)=6,arctan^2(2x)1+4x^2

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