use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=e^-t sin t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de terceira ordem
y'''-y''+y'-y = e^-tsin t
O conteúdo é o método de variação de parâmetros para equações lineares de ordem três. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea e obter um conjunto fundamental de soluções y1,y2,y3. Depois, buscamos uma particular por variação de constantes.

Passo 2

Resolvendo a equação característica da homogênea
r^3 - r^2 + r -1 = (r-1)(r^2+1)=0
obtém-se as raízes r=1,;r=i,;r=-i. Logo o sistema fundamental é
y1(t)=e^t, y2(t)=cos t, y3(t)=sin t
e a solução homogênea é
yh = C1 e^t + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Nas variações de parâmetro escrevemos
yp = u1(t)e^t + u2(t)cos t + u3(t)sin t
com as condições suplementares
u1'y1 + u2'y2 + u3'y3 = 0, u1'y1' + u2'y2' + u3'y3' = 0, u1'y1'' + u2'y2'' + u3'y3'' = e^-tsin t
O Wronskiano vale
W = det e^t & cos t & sin t e^t & -sin t & cos t e^t & -cos t & -sin t =2e^t

Passo 4

Pelas regras de Cramer obtém-se
u1' = e^-tsin t2e^t=tfrac12e^-2tsin t, u2' = e^-tsin t,( cos t - sin t)2, u3' = -e^-tsin t,(sin t+cos t)2
Integramos usando fórmulas padrão de integral e^atsin(bt),dt e integral e^atcos(bt),dt. O resultado é
u1(t)=-2sin t+cos t10e^-2t, u2(t)=sin2t-3cos2t+520e^-t, u3(t)=cos2t+3sin2t+520e^-t

Passo 5

Substituindo em yp=u1y1+u2y2+u3y3 e fazendo as simplificações trigonométricas (convertendo termos como sin2t,cos2t e cancelando identidades), chega-se ao resultado simples
yp(t) = -15e^-tcos t

Resposta

A solução geral é
boxedy(t)=C1e^t + C2cos t + C3sin t -15e^-tcos t

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