use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de terceira ordem
O conteúdo é o método de variação de parâmetros para equações lineares de ordem três. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea e obter um conjunto fundamental de soluções . Depois, buscamos uma particular por variação de constantes.
Passo 2
Resolvendo a equação característica da homogênea
obtém-se as raízes . Logo o sistema fundamental é
e a solução homogênea é
Passo 3
Nas variações de parâmetro escrevemos
com as condições suplementares
O Wronskiano vale
W = det e^t & cos t & sin t e^t & -sin t & cos t e^t & -cos t & -sin t =2e^t
Passo 4
Pelas regras de Cramer obtém-se
u1' = e^-tsin t2e^t=tfrac12e^-2tsin t, u2' = e^-tsin t,( cos t - sin t)2, u3' = -e^-tsin t,(sin t+cos t)2
Integramos usando fórmulas padrão de integral e^atsin(bt),dt e integral e^atcos(bt),dt. O resultado é
Substituindo em yp=u1y1+u2y2+u3y3 e fazendo as simplificações trigonométricas (convertendo termos como sin2t,cos2t e cancelando identidades), chega-se ao resultado simples