Use this result to support your answers to the questions in Exercises 45-48.
Does knowing that |\cos (1 / y)| \leq 1 tell you anything about
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \cos \frac{1}{y} ?
Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\cos\frac{1}{y}
e nos lembra que \bigl|\cos\frac{1}{y}\bigr|\le1. Vamos usar esse fato para aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) em duas variáveis.

Passo 2

Como \bigl|\cos\frac{1}{y}\bigr|\le1, temos
-\;|x|\;\le\;x\cos\frac{1}{y}\;\le\;|x|.
Isto é, o valor de x\cos\frac{1}{y} fica “espremido” entre -|x| e |x|.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} -|x| \;=\;0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} |x| \;=\;0.
Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\cos\frac{1}{y} \;=\;0.

Resposta

Sim. Como \bigl|\cos(1/y)\bigr|\le1 implica -|x|\le x\cos(1/y)\le|x| e \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|=0, pelo Teorema do Confronto o limite é 0.

Exercícios relacionados