Use this result to support your answers to the questions in Exercises 45-48.
Does knowing that |\sin (1 / x)| \leq 1 tell you anything about
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} y \sin \frac{1}{x} ?
Give reasons for your answer.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}y\sin\frac{1}{x}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Sabemos que
\left|\sin\frac{1}{x}\right|\le1
para todo x\neq0. Multiplicando essa desigualdade por |y|, obtemos
\left|y\sin\frac{1}{x}\right|\le |y|.

Passo 3

Como
\lim_{(x,y)\to(0,0)}|y|=0,
a função \left|y\sin\frac{1}{x}\right| fica “espremida” entre -|y| e |y|, cujos limites valem zero.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}y\sin\frac{1}{x}=0.

Resposta

0

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