In Exercises 57 and 58, define f(0,0) in a way that extends f to be continuous at the origin.
f(x, y)=\ln \left(\frac{3 x^{2}-x^{2} y^{2}+3 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\!\Bigl(\frac{3x^{2}-x^{2}y^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)
definida fora da origem e pede que a estendamos em (0,0) de modo a ficar contínua. Para isso, vamos calcular
L = \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).

Passo 2

Reescrevemos o quociente dentro do logaritmo:
\frac{3x^{2}-x^{2}y^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =3 \;-\;\frac{x^{2}y^{2}}{\,x^{2}+y^{2}\,}.
Quando (x,y)\to(0,0), o termo \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} tende a 0 (pois é da ordem r^{4}/r^{2}), então o quociente tende a 3. Logo
L = \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = \ln(3).

Passo 3

Para que f seja contínua em (0,0), basta definir
f(0,0)=\ln(3).

Resposta

Define-se f(0,0)=\ln(3).

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