Use a transformação x=u^{2}, y=v^{2}, z=w^{2} para calcular o volume da região limitada pela superfície \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1 e pelos planos coordenados
Resp. \frac{1}{90}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em (x,y,z) limitada por \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1 e pelos planos coordenados. Vamos usar a transformação
x = u^2,\quad y = v^2,\quad z = w^2
para simplificar a superfície em u+v+w=1.

Passo 2

Primeiro, determinamos o jacobiano da transformação. Como x=u^2, tem-se
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\det\begin{pmatrix} 2u & 0 & 0\\\\ 0 & 2v & 0\\\\ 0 & 0 & 2w \end{pmatrix} =2u\cdot2v\cdot2w=8\,u\,v\,w.
Além disso, a condição \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le1 vira
u+v+w\le1,
com u,v,w\ge0.

Passo 3

O volume procurado é
V=\iiint_{D} dx\,dy\,dz =\iiint_{D'}8\,u\,v\,w\;du\,dv\,dw,
onde D'=\{(u,v,w)\mid u,v,w\ge0,\;u+v+w\le1\}.

Passo 4

Para calcular
\iiint_{D'}u\,v\,w\;du\,dv\,dw
podemos usar a integral de Dirichlet com expoentes 1 em cada variável e expoente 0 no termo 1-(u+v+w). A fórmula geral dá
\iiint_{u+v+w\le1}u^{\alpha-1}v^{\beta-1}w^{\gamma-1}(1-u-v-w)^{\delta-1}du\,dv\,dw =\frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)\,\Gamma(\gamma)\,\Gamma(\delta)} {\Gamma(\alpha+\beta+\gamma+\delta)},
aqui com \alpha=\beta=\gamma=2 e \delta=1. Logo
\iiint_{D'}u\,v\,w\;du\,dv\,dw =\frac{\Gamma(2)\,\Gamma(2)\,\Gamma(2)\,\Gamma(1)}{\Gamma(2+2+2+1)} =\frac{1\cdot1\cdot1\cdot1}{\Gamma(7)} =\frac{1}{6!} =\frac{1}{720}.
Multiplicando pelo fator 8 do jacobiano, obtemos
V = 8 \times \frac{1}{720} = \frac{1}{90}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{90}

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