Calcule a massa do sólido dado por S=\left\{(u, v, w): u^{2}+v^{2}+w^{2} \geq 1, \quad u^{2}+v^{2}+w^{2} \leq 2 u\right\} sendo a densidade \delta(u, v, w)=u.
Resp. \frac{9}{8} \pi.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
S = \{(u,v,w)\mid u^2+v^2+w^2 \ge 1,\;u^2+v^2+w^2 \le 2u\}
com densidade \delta(u,v,w)=u.
O conteúdo é cálculo de integrais triplas e usaremos coordenadas esféricas para simplificar o domínio dado em termos de u^2+v^2+w^2.

Passo 2

Adotamos coordenadas esféricas com eixo polar ao longo de u:
u = \rho\cos\varphi,\quad v = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad w = \rho\sin\varphi\sin\theta,
e o elemento de volume é
dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

As desigualdades do sólido em esféricas ficam
\rho^2 \ge 1 \quad\Longrightarrow\quad \rho \ge 1,
\rho^2 \le 2u = 2\rho\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \rho \le 2\cos\varphi.
Para existir \rho\ge1 e \rho\le2\cos\varphi precisamos 2\cos\varphi\ge1, ou seja \cos\varphi\ge\tfrac12, logo \varphi\in[0,\pi/3].
Também \theta\in[0,2\pi].
Portanto os limites são
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi3,\quad 1\le\rho\le2\cos\varphi.

Passo 4

A massa é
M=\iiint_{S}u\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/3}\!\int_{1}^{2\cos\varphi} \bigl(\rho\cos\varphi\bigr)\,\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Dentro da integral temos o integrando \rho^3\cos\varphi\sin\varphi.

Passo 5

Integramos primeiro em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
portanto
M = 2\pi \int_{0}^{\pi/3}\!\int_{1}^{2\cos\varphi} \rho^3\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi.

Passo 6

Integramos em \rho:
\int_{1}^{2\cos\varphi}\rho^3\,d\rho =\left[ \frac{\rho^4}{4} \right]_{1}^{2\cos\varphi} =\frac{(2\cos\varphi)^4 - 1}{4} =\frac{16\cos^4\varphi - 1}{4}.
Logo
M = 2\pi \int_{0}^{\pi/3} \frac{16\cos^4\varphi - 1}{4}\,\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/3}(16\cos^4\varphi - 1)\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 7

Fazemos a substituição
t = \cos\varphi,\quad dt = -\sin\varphi\,d\varphi.
Quando \varphi=0 temos t=1 e quando \varphi=\pi/3 temos t=1/2.
Assim
\int_{0}^{\pi/3}(16\cos^5\varphi - \cos\varphi)\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{1/2}(16t^5 - t)(-dt) =\int_{1/2}^{1}(16t^5 - t)\,dt.

Passo 8

Calculamos
\int(16t^5 - t)\,dt =\frac{16}{6}t^6 - \frac{t^2}{2} =\frac{8}{3}t^6 - \frac{t^2}{2},
avaliando de t=1/2 a t=1:
\Bigl(\tfrac{8}{3}\!- \tfrac12\Bigr) -\Bigl(\tfrac{8}{3}\bigl(\tfrac12\bigr)^6 - \tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac12\bigr)^2\Bigr) =\frac{13}{6} -\Bigl(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\Bigr) =\frac{13}{6} + \frac{1}{12} =\frac{9}{4}.

Passo 9

Logo
M = \frac{\pi}{2}\times\frac{9}{4} =\frac{9\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{8}\pi

Exercícios relacionados