Calcule a massa do sólido dado por
sendo a densidade
.
Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede a massa do sólido
com densidade
.
O conteúdo é cálculo de integrais triplas e usaremos coordenadas esféricas para simplificar o domínio dado em termos de .
O conteúdo é cálculo de integrais triplas e usaremos coordenadas esféricas para simplificar o domínio dado em termos de
Passo 2
Adotamos coordenadas esféricas com eixo polar ao longo de
:
e o elemento de volume é
Passo 3
As desigualdades do sólido em esféricas ficam
Para existir
e
precisamos
, ou seja
, logo
.
Também .
Portanto os limites são
Também
Portanto os limites são
Passo 4
A massa é
Dentro da integral temos o integrando
.
Passo 5
Integramos primeiro em
:
portanto
Passo 6
Integramos em
:
Logo
Passo 7
Fazemos a substituição
Quando
temos
e quando
temos
.
Assim
Assim
Passo 8
Calculamos
avaliando de
a
:
Passo 9
Logo