Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
w=z e^{u z}

Passo 1

O enunciado dá a função w(u,z)=z\,e^{u z} e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a u e a z. Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia: ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante; e ao derivar uma exponencial, multiplicamos pelo derivando do expoente.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}.
Como z é constante ao derivar em relação a u, temos
\frac{\partial w}{\partial u} = z \,\frac{\partial}{\partial u}\bigl(e^{u z}\bigr).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial u}\bigl(e^{u z}\bigr) = z\,e^{u z}.
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\frac{\partial w}{\partial u} = z \cdot \bigl(z\,e^{u z}\bigr) = z^{2}e^{u z}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui usamos a regra do produto w=z\cdot e^{u z}:
\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial (z)}{\partial z}\,e^{u z} + z\,\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{u z}\bigr).
Como \frac{\partial (z)}{\partial z}=1 e pela regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{u z}\bigr) = u\,e^{u z},
vem
\frac{\partial w}{\partial z} = 1\cdot e^{u z} + z\cdot\bigl(u\,e^{u z}\bigr) = \bigl(1 + u z\bigr)e^{u z}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial u} = z^{2}e^{u z}, \quad \frac{\partial w}{\partial z} = \bigl(1 + u z\bigr)e^{u z}.

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