Use a transformação dada para calcular a integral.
, em que
é a região triangular com vértices
e
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o triângulo de vértices
,
e
, usando a transformação
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos achar a região correspondente no plano
, o jacobiano e reescrever o integrando.
Passo 2
Invertendo a transformação para achar
em que a matriz é
. Assim
Aplicando aos vértices de
:
,
,
.
Logo, a região em é o triângulo
.
Logo, a região em
Passo 3
O jacobiano da transformação
é
portanto
.
Passo 4
Reescrevemos o integrando
em função de
:
Passo 5
A integral transforma-se em
Passo 6
Calculamos
Primeiro em
:
Multiplicando por 3 e integrando em
: