Use a transformação dada para calcular a integral.
\iint_{D}(x-3 y) d A, em que D é a região triangular com vértices (0,0),(2,1) e (1,2) ; x=2 u+v, y=u+2 v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x-3y)\,dA
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (2,1) e (1,2), usando a transformação
x=2u+v,\quad y=u+2v.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos achar a região correspondente no plano uv, o jacobiano e reescrever o integrando.

Passo 2

Invertendo a transformação para achar (u,v)\) em função de \((x,y)\), resolvemos \[\begin{cases} x=2u+v,\\\ y=u+2v \end{cases}
em que a matriz é \begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}\] com determinante \(3. Assim
u=\frac{2x-y}{3},\quad v=\frac{-x+2y}{3}.
Aplicando aos vértices de D: (0,0)\mapsto(0,0), (2,1)\mapsto(1,0), (1,2)\mapsto(0,1).
Logo, a região em uv é o triângulo \{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\}.

Passo 3

O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
J=\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix}=4-1=3,
portanto dA=|J|\,du\,dv=3\,du\,dv.

Passo 4

Reescrevemos o integrando (x-3y) em função de u,v:
x-3y=(2u+v)-3(u+2v)=-u-5v.

Passo 5

A integral transforma-se em
\iint_{D}(x-3y)\,dA =\iint_{u+v\le1,\;u,v\ge0}(-u-5v)\cdot3\,du\,dv.

Passo 6

Calculamos
\int_{u=0}^{1}\!\int_{v=0}^{1-u}3(-u-5v)\,dv\,du.
Primeiro em v:
\int_{0}^{1-u}(-u-5v)\,dv =-u(1-u)-\frac{5}{2}(1-u)^2.
Multiplicando por 3 e integrando em u\in[0,1]:
3\int_{0}^{1}\Bigl[-u(1-u)-\tfrac{5}{2}(1-u)^2\Bigr]du =3\bigl(2-\tfrac12-\tfrac52\bigr) =3\cdot(-1)=-3.

Resposta

-3

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