Use a transformação dada para calcular a integral. \iint_{D}(4 x+8 y) d A, em que D é o paralelogramo de vértices (-1,3),(1,-3),(3,-1) e (1,5); x=\frac{1}{4}(4-v), y=\frac{1}{4}(v-3 u).
Passo 1
O enunciado pede
I=\iint_{D}(4x+8y)\,dA
onde D é o paralelogramo de vértices (-1,3), (1,-3), (3,-1) e (1,5).
Temos à disposição a transformação
x=\frac{4-v}{4},\quad y=\frac{v-3u}{4},
isto é, (x,y)=T(u,v). Para usar essa mudança de variáveis, vamos precisar de (i) calcular o jacobiano \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}, (ii) reescrever o integrando em u,v e (iii) determinar a região E em uv-plano (imagem inversa de D).
Passo 2
Calculemos o jacobiano
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac14\\\\ -\tfrac34 & \tfrac14 \end{pmatrix} =0\cdot\tfrac14-(-\tfrac14)(-\tfrac34)=-\tfrac3{16}.
Logo \bigl|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|=\tfrac3{16}.
Para achar \Area(E) usamos que \Area(D)=16 (determinante das duas arestas do paralelogramo em xy) e que \Area(D)=\displaystyle\iint_{E}\bigl|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|\,du\,dv
=\tfrac3{16}\,\Area(E).
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