Em cada item, utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função f sob a restrição imposta.
f(x, y, z)=x+y+z sob a restrição x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo da função f(x,y,z)=x+y+z sob a restrição x^2+y^2+z^2=1. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, então vamos usar o gradiente de f e da função restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e a condição nabla f=lambdanabla g.

Passo 2

Definimos a função Lagrangeana:
L(x,y,z,lambda)=f(x,y,z)-lambdal(g(x,y,z)-1r)=x+y+z-lambdal(x^2+y^2+z^2-1r)

Passo 3

Impondo as condições de ponto crítico, calculamos derivadas parciais iguais a zero:
partial Lpartial x=1-2lambda x=0, partial Lpartial y=1-2lambda y=0, partial Lpartial z=1-2lambda z=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2+z^2-1)=0
Isso dá o sistema 1=2lambda x, 1=2lambda y, 1=2lambda z e x^2+y^2+z^2=1.

Passo 4

Das três primeiras equações vemos que x=y=z=1/(2lambda). Substituindo na restrição:
3l(12lambdar)^2=1Longrightarrow34lambda^2=1Longrightarrowlambda=pmraiz32
Assim x=y=z=pm1/raiz3.

Passo 5

Os pontos críticos são
$$\Bigl(\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\Bigr)\quade\quad\Bigl(-\tfrac1{\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\Bigr).
$$
Calculando l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)el(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) , no primeiro ponto f=x+y+z=3x, e no segundo f=3tfrac1raiz3=raiz3.

Resposta

Máximo absoluto de f é raiz3 em (tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3). Mínimo absoluto de f é -raiz3 em (-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3).

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