Use a transformada de Laplace para encontrar a solucap y(t) do problema dado.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=6 e^t, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado é o seguinte: resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com termos constantes
y'' + 3y' + 2y = 6e^t,
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1.
O método de resolução será pela transformada de Laplace, usando as fórmulas
Ly'(s)=sY(s)-y(0), Ly''(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
onde Y(s)=Ly(t)(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 3y' + 2y = 6e^t
Temos
Ly'' +3Ly'+2Ly =L6e^t
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais:
(s^2Y(s)-scdot1 -(-1)) +3l(sY(s)-1r) +2Y(s) =6s-1
Ou seja,
(s^2+3s+2)Y(s) -s +1 -3 = 6s-1 ;;Longrightarrow;; (s+1)(s+2),Y(s) = 6s-1 + s +2
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Y(s) = s+2(s+1)(s+2) + 6(s-1)(s+1)(s+2) = 1s+1 + 6(s-1)(s+1)(s+2)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais da parte 6(s-1)(s+1)(s+2). Procuramos constantes A,B,C tais que
6(s-1)(s+1)(s+2) =As-1+Bs+1+Cs+2
Multiplicando em comum denominador e comparando ou usando avaliação em s=1,-1,-2, obtém-se
A=1, B=-3, C=2
Então
Y(s)=1s+1+1s-1-3s+1+2s+2 =1s-1-2s+1+2s+2

Passo 4

Invertemos a transformada de Laplace termo a termo:
L^-1!l1s-1r=e^t, L^-1!l1s+1r=e^-t, L^-1!l1s+2r=e^-2t
Portanto
y(t) = e^t -2e^-t +2e^-2t

Resposta

y(t) = e^t - 2e^-t + 2e^-2t

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