• (10pts) Calcule o vetor gradiente e a linearização de f(x, y)=exp (2 x y) em qualquer ponto (x0, y0).

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: pra função
f(x,y)=e^2xy,
a) calcular o vetor gradiente (ou seja, as derivadas parciais combinadas)
b) obter a linearização (o plano tangente, ou aproximação linear) em um ponto genérico (x0,y0).
Conteúdo: derivada parcial, regra da cadeia, produto, definição de gradiente e fórmula da linearização
L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0),(x-x0)+fy(x0,y0),(y-y0)

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais. Como f(x,y)=e^u com u=2xy, pela regra da cadeia
fx = e^ucdot ux, fy = e^ucdot uy
Aqui ux=partial(2xy)partial x=2y (2 é constante e partial(xy)/partial x=y)
e uy=partial(2xy)partial y=2x.
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fx(x,y)=2y,e^2xy, fy(x,y)=2x,e^2xy

Passo 3

O vetor gradiente é
nabla f(x,y)=l(fx(x,y),,fy(x,y)r) =l(2y,e^2xy,,2x,e^2xyr)
Em (x0,y0) fica
nabla f(x0,y0) =l(2y0,e^2x0y0,,2x0,e^2x0y0r)

Passo 4

Agora a linearização (o plano tangente) em (x0,y0) usa a fórmula
L(x,y)=f(x0,y0) +fx(x0,y0),(x-x0) +fy(x0,y0),(y-y0)
Sabendo que
f(x0,y0)=e^2x0y0,; fx(x0,y0)=2y0,e^2x0y0,; fy(x0,y0)=2x0,e^2x0y0,
temos
L(x,y) =e^2x0y0 +2y0,e^2x0y0,(x-x0) +2x0,e^2x0y0,(y-y0)

Resposta

Gradiente:
boxednabla f(x,y)=l(2y,e^2xy,,2x,e^2xyr), nabla f(x0,y0)=l(2y0,e^2x0y0,,2x0,e^2x0y0r)
Linearização em (x0,y0):
boxedL(x,y) =e^2x0y0 +2y0,e^2x0y0,(x-x0) +2x0,e^2x0y0,(y-y0)

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