- (10pts) Calcule o vetor gradiente e a linearização de
em qualquer ponto
.
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é: pra função
a) calcular o vetor gradiente (ou seja, as derivadas parciais combinadas)
b) obter a linearização (o plano tangente, ou aproximação linear) em um ponto genérico .
Conteúdo: derivada parcial, regra da cadeia, produto, definição de gradiente e fórmula da linearização
b) obter a linearização (o plano tangente, ou aproximação linear) em um ponto genérico
Conteúdo: derivada parcial, regra da cadeia, produto, definição de gradiente e fórmula da linearização
Passo 2
Vamos achar as derivadas parciais. Como
com
, pela regra da cadeia
Aqui
(2 é constante e
)
e .
Logo
e
Logo
Passo 3
O vetor gradiente é
Em
fica
Passo 4
Agora a linearização (o plano tangente) em
usa a fórmula
Sabendo que
temos
Resposta
Gradiente:
Linearização em
: