Use a transformada de Laplace para encontrar a solucap y(t) do problema dado.
y^prime prime-2 y^prime+2 y=cost, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução y(t) do problema de valor inicial
y'' - 2y' + 2y = cos t, y(0)=1, y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos aplicar L em ambos os lados, usar as condições iniciais para obter Y(s)=Ly(t)(s), resolver algebricamente e em seguida inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando L no LHS e RHS e usando
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e
Ly'=sY(s)-y(0), temos
Ly''-2,Ly'+2,Ly =(s^2Y(s)-scdot1-0)-2l(sY(s)-1r)+2Y(s)
Isso dá
(s^2-2s+2),Y(s)-s+2 =Lcos t=ss^2+1
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Y(s) = ss^2+1+s-2s^2-2s+2

Passo 3

Colocando num único quociente,
Y(s) =s/(s^2+1)+s-2s^2-2s+2 =s^3-2s^2+2s-2(s^2+1),(s^2-2s+2)
Fazemos a decomposição em frações parciais
s^3-2s^2+2s-2(s^2+1)l(s^2-2s+2r) =A s+Bs^2+1+C s+Ds^2-2s+2

Passo 4

Multiplicando pelos denominadores e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A+C=1, -2A+B+D=-2, 2A-2B+C=2, 2B+D=-2
A solução é
A=tfrac15, B=-tfrac25, C=tfrac45, D=-tfrac65
Como s^2-2s+2=(s-1)^2+1, reescrevemos
Y(s) =tfrac15s-tfrac25s^2+1 +tfrac45s-tfrac65(s-1)^2+1 =15ss^2+1-251s^2+1 +45s-1(s-1)^2+1-251(s-1)^2+1

Passo 5

Agora usamos as inversas:
L^-1s/(s^2+1)=cos t,
L^-11/(s^2+1)=sin t,
L^-1(s-1)/((s-1)^2+1)=e^tcos t,
L^-11/((s-1)^2+1)=e^tsin t. Portanto
y(t) =15cos t-25sin t +45e^tcos t-25e^tsin t

Resposta

y(t) =15cos t-25sin t +45e^tcos t-25e^tsin t

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