Use a transformada de Laplace para encontrar a soluções geral das equações diferenciais abaixo.
,

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de oscilador forçado sem amortecimento
m,x''(t)+k,x(t)=F0cos(omega1 t),
usando transformada de Laplace. Vamos precisar de tabelas de transformada de Laplace e das fórmulas
$$\mathcal L{x’’(t)}=s^2X(s)-s,x(0)-x’(0),\quad\mathcal L{\cos(\omega_1t)}=\frac s{s2+\omega_12}.
$$

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da ODE
ml[s^2X(s)-s,x(0)-x'(0)r]+kX(s)=F0 ss^2+omega1^2
Agrupando em torno de X(s):
X(s)l(m s^2+kr)=m,s,x(0)+m,x'(0)+F0 ss^2+omega1^2

Passo 3

Isolamos X(s) e escrevemos k= momega0^2, com omega0=raizk/m:
X(s)=m,s,x(0)+m,x'(0)m,(s^2+omega0^2)+F0sm,(s^2+omega0^2)(s^2+omega1^2)

Passo 4

O primeiro quociente gera a solução homogênea quando invertermos a transformada:
L^-1lss^2+omega0^2r=cos(omega0 t), L^-1l1s^2+omega0^2r=1omega0sin(omega0 t)
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xh(t)=x(0)cos(omega0t)+x'(0)omega0sin(omega0t)

Passo 5

Para a parte particular fazemos frações parciais em
s(s^2+omega0^2)(s^2+omega1^2) =1omega1^2-omega0^2l(ss^2+omega0^2-ss^2+omega1^2r)
Invertendo cada termo obtemos
xp(t)=F0m(omega1^2-omega0^2)l(cos(omega0t)-cos(omega1t)r)

Passo 6

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular. Como qualquer combinação que acrescente um cos(omega0t) ao homogêneo pode ser absorvida em constantes, escrevemos de forma mais simples:
x(t)=C1cos(omega0t)+C2sin(omega0t)+F0m(omega0^2-omega1^2)cos(omega1t),
onde omega0=raizk/m e C1,C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t)=C1cosl(raiztfrackm,tr)+C2sinl(raiztfrackm,tr)+F0ml(tfrackm-omega1^2r)cos(omega1t), C1,C2in R

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