Use a transformada de Laplace para encontrar a soluções geral das equações diferenciais abaixo.
,
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação de oscilador forçado sem amortecimento
usando transformada de Laplace. Vamos precisar de tabelas de transformada de Laplace e das fórmulas
$$\mathcal L{x’’(t)}=s^2X(s)-s,x(0)-x’(0),\quad\mathcal L{\cos(\omega_1t)}=\frac s{s2+\omega_12}.
$$
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da ODE
Agrupando em torno de
:
Passo 3
Isolamos
e escrevemos
, com
:
Passo 4
O primeiro quociente gera a solução homogênea quando invertermos a transformada:
Logo
Passo 5
Para a parte particular fazemos frações parciais em
Invertendo cada termo obtemos
Passo 6
A solução geral é a soma das partes homogênea e particular. Como qualquer combinação que acrescente um
ao homogêneo pode ser absorvida em constantes, escrevemos de forma mais simples:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.