Olhando a hélice do Exemplo 4.3 no espaço, ou seja,
alpha(theta)=theta cos theta i+theta sen theta j+0 k,
calcule as equações de sua reta tangente e plano normal no ponto alpha(pi).

Passo 1

O exercício pede para encontrar a reta tangente e o plano normal à hélice paramétrica alpha(theta)=l(thetacostheta,,thetasintheta,,0r) no ponto correspondente a theta=pi. O conteúdo envolve derivadas de curvas no espaço e a definição de reta tangente e plano normal.

Passo 2

Primeiro vamos achar o ponto P=alpha(pi). Basta substituir theta=pi em cada coordenada.
Calculando o ponto em bloco:
alpha(pi)=l(picospi,,pisinpi,,0r)=(-pi,,0,,0)

Passo 3

Em seguida, precisamos da derivada alpha'(theta) para determinar a direção da reta tangente. Usando regra do produto em cada componente:
Apresentando a derivada em bloco:
alpha'(theta)=l(costheta-thetasintheta,;sintheta+thetacostheta,;0r)

Passo 4

Agora avaliamos em theta=pi: as funções trigonométricas dão cospi=-1 e sinpi=0, então
Avaliação da derivada em bloco:
$$
\vec{\alpha}

Resposta

Reta tangente: x=-pi - t, y=-pi t, z=0; Plano normal: x+pi y+pi=0.

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