Olhando a hélice do Exemplo 4.3 no espaço, ou seja,
calcule as equações de sua reta tangente e plano normal no ponto
.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a reta tangente e o plano normal à hélice paramétrica
no ponto correspondente a
. O conteúdo envolve derivadas de curvas no espaço e a definição de reta tangente e plano normal.
Passo 2
Primeiro vamos achar o ponto
. Basta substituir
em cada coordenada.
Calculando o ponto em bloco:
Calculando o ponto em bloco:
Passo 3
Em seguida, precisamos da derivada
para determinar a direção da reta tangente. Usando regra do produto em cada componente:
Apresentando a derivada em bloco:
Apresentando a derivada em bloco:
Passo 4
Agora avaliamos em
: as funções trigonométricas dão
e
, então
Avaliação da derivada em bloco:
Avaliação da derivada em bloco:
$$
\vec{\alpha}
\vec{\alpha}
Resposta
Reta tangente:
; Plano normal:
.