Encontre as curvas de nível Sc(f), c in R, da seguinte função 4 f(x, y)-x+2 y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as curvas de nível da função dada por 4 f(x, y) - x + 2 y^2 = 0. As curvas de nível são aquelas onde a função assume um valor constante c. Para resolver isso, vamos precisar entender como isolar f(x, y) e então encontrar a relação entre x e y que define essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar f(x, y) na equação fornecida. Temos:
4 f(x, y) - x + 2 y^2 = 0
Vamos resolver para f(x, y):
4 f(x, y) = x - 2 y^2
f(x, y) = x - 2 y^24
Agora, para encontrar as curvas de nível, definimos f(x, y) = c, onde c é uma constante real. Então:
x - 2 y^24 = c
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
x - 2 y^2 = 4c
Finalmente, isolamos x:
x = 4c + 2 y^2
Isso nos dá a equação das curvas de nível em termos de x e y.

Resposta

As curvas de nível são dadas por x = 4c + 2 y^2 para todo c in R.

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