Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=t^{2} e^{3 t}, y(0)=2, y^{\prime}(0)=6 Resp: y(t)=2+\frac{t^{4}}{12} e^{3 t}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace.
  • A equação diferencial é y''-6y'+9y=t^{2}e^{3t}.
  • As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=6.
  • A resposta indicada pelo enunciado é y(t)=2+\dfrac{t^{4}}{12}e^{3t} (vou resolver e mostrar passo a passo para checar).

Passo 2

Revisão das ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada; na prática tratamos s como um número real maior que uma certa região de convergência.
  • Transformadas úteis que usaremos:
    1. Derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) então
    \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explicação rápida: estas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada para y' e y''. As quantidades y(0) e y'(0) aparecem porque a transformada “puxa” as condições iniciais para o domínio de s.
  1. Multiplicação por exponencial (teorema do deslocamento): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a).
Isso significa que multiplicar no tempo por e^{at} desloca a transformada no eixo s por a.
  1. Potências de t: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aplicando o deslocamento, para t^{n}e^{at} temos
\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Tomando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos
\mathcal{L}\{y''-6y'+9y\}(s)=\mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\}(s).
Usando as fórmulas de derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).
Substituindo na esquerda e usando y(0)=2, y'(0)=6:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 2 -6\big) -6\big(sY(s)-2\big) +9Y(s).
Agora simplifico o lado esquerdo passo a passo:
  • Primeiro termo: s^{2}Y(s)-2s-6.
  • Segundo termo (com -6): -6sY(s)+12.
  • Terceiro termo: +9Y(s).
Somando:
\big(s^{2}Y(s)-6sY(s)+9Y(s)\big) + (-2s-6+12).
Agrupando:
(s^{2}-6s+9)Y(s) + (-2s+6).
Observação: s^{2}-6s+9=(s-3)^{2} e -2s+6=-2(s-3). Vou usar essas formas para simplificar.

Passo 4

Transformada do lado direito:
Usando a propriedade de deslocamento e a fórmula de potências, para t^{2}e^{3t} (aqui n=2 e a=3):
\mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\}(s)=\frac{2!}{(s-3)^{3}}=\frac{2}{(s-3)^{3}}.
Então a equação transformada completa é
(s-3)^{2}Y(s) -2(s-3) = \frac{2}{(s-3)^{3}}.
Agora isolamos Y(s). Primeiro passo: passar o termo -2(s-3) para o outro lado:
(s-3)^{2}Y(s)=\frac{2}{(s-3)^{3}} + 2(s-3).
Dividindo ambos os lados por (s-3)^{2}:
Y(s)=\frac{2}{(s-3)^{5}} + \frac{2}{(s-3)}.
(Verifiquei a divisão: \dfrac{2}{(s-3)^{3}} \div (s-3)^{2} = \dfrac{2}{(s-3)^{5}} e \dfrac{2(s-3)}{(s-3)^{2}}=\dfrac{2}{(s-3)}.)

Passo 5

Inversão da transformada termo a termo:
Temos
Y(s)=\frac{2}{(s-3)} + \frac{2}{(s-3)^{5}}.
Usamos as regras inversas:
  • Para \dfrac{2}{(s-3)}: corresponde a 2e^{3t}, porque \mathcal{L}\{e^{3t}\}=\dfrac{1}{s-3}.
  • Para \dfrac{2}{(s-3)^{5}}: lembrando que \mathcal{L}\{t^{n}e^{3t}\}=\dfrac{n!}{(s-3)^{n+1}}. Aqui temos denominação (s-3)^{5}, então n+1=5 e n=4. Assim \mathcal{L}\{t^{4}e^{3t}\}=\frac{4!}{(s-3)^{5}}=\frac{24}{(s-3)^{5}}.Para obter \dfrac{2}{(s-3)^{5}}, escrevemos \frac{2}{(s-3)^{5}} = \frac{2}{24}\cdot\frac{24}{(s-3)^{5}} = \frac{1}{12}\cdot\mathcal{L}\{t^{4}e^{3t}\}.Portanto a inversa é \dfrac{1}{12} t^{4} e^{3t}.
Somando os dois resultados, obtemos
y(t)=2e^{3t} + \frac{t^{4}}{12}e^{3t}.

Passo 6

Checagem rápida das condições iniciais (para aumentar confiança):
  • y(0)=2e^{0} + 0 = 2 — confere.
  • Para y'(t) fazemos derivada rápida: y'(t)=6e^{3t} + \frac{t^{4}}{12}\cdot 3e^{3t} + \frac{4t^{3}}{12}e^{3t} =6e^{3t} + \left(\frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{3}}{3}\right)e^{3t}.Logo y'(0)=6 — confere.
Assim a solução encontrada satisfaz as condições iniciais. Observação: a solução indicada no enunciado y(t)=2+\dfrac{t^{4}}{12}e^{3t} não satisfaz y'(0)=6, por isso ela está incorreta; a forma correta é a que encontramos.

Resposta

y(t)=2e^{3t}+\dfrac{t^{4}}{12}e^{3t}

Exercícios relacionados