Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Resp:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede-se resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace.
- A equação diferencial é
. - As condições iniciais são
e . - A resposta indicada pelo enunciado é
(vou resolver e mostrar passo a passo para checar).
Passo 2
Revisão das ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(definida para ),
Aqui
é a variável complexa da transformada; na prática tratamos
como um número real maior que uma certa região de convergência.
- Transformadas úteis que usaremos:
- Derivadas: se
então
- Derivadas: se
Explicação rápida: estas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada para
e
. As quantidades
e
aparecem porque a transformada “puxa” as condições iniciais para o domínio de
.
- Multiplicação por exponencial (teorema do deslocamento): se
então
Isso significa que multiplicar no tempo por
desloca a transformada no eixo
por
.
- Potências de
: para inteiro ,
Aplicando o deslocamento, para
temos
Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Tomando
, temos
Usando as fórmulas de derivadas:
Substituindo na esquerda e usando
,
:
Agora simplifico o lado esquerdo passo a passo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo (com -6):
. - Terceiro termo:
.
Somando:
Agrupando:
Observação:
e
. Vou usar essas formas para simplificar.
Passo 4
Transformada do lado direito:
Usando a propriedade de deslocamento e a fórmula de potências, para
(aqui
e
):
Então a equação transformada completa é
Agora isolamos
. Primeiro passo: passar o termo
para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
:
(Verifiquei a divisão:
e
.)
Passo 5
Inversão da transformada termo a termo:
Temos
Usamos as regras inversas:
- Para
: corresponde a , porque . - Para
: lembrando que . Aqui temos denominação , então e . Assim Para obter , escrevemos Portanto a inversa é .
Somando os dois resultados, obtemos
Passo 6
Checagem rápida das condições iniciais (para aumentar confiança):
-
— confere. - Para
fazemos derivada rápida: Logo — confere.
Assim a solução encontrada satisfaz as condições iniciais. Observação: a solução indicada no enunciado
não satisfaz
, por isso ela está incorreta; a forma correta é a que encontramos.