- (a) Considere a equação
. Mostre que as raízes da equação característica são
. Portanto, uma solução é
.
(b) A teoria do Wronskiano nos diz que
, onde
é uma constante.
(c) Use a línea anterior para mostrar que a segunda solução é
.
(b) A teoria do Wronskiano nos diz que
(c) Use a línea anterior para mostrar que a segunda solução é
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que as raízes da equação característica são
e, a partir disso, que uma solução é . - (b) Mostrar que o Wronskiano satisfaz
onde
é uma constante.
3. (c) Usar a relação do Wronskiano para encontrar uma segunda solução linearmente independente, mostrando que podemos escolher .
3. (c) Usar a relação do Wronskiano para encontrar uma segunda solução linearmente independente, mostrando que podemos escolher
As informações relevantes dadas são: a forma explícita da equação diferencial e que devemos obter a solução exponencial associada à raiz repetida e a expressão do Wronskiano. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação linear com coeficientes constantes
assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação obtemos a equação característica
Agora calcule o discriminante da quadrática
:
Como o discriminante é
, a equação tem raiz dupla. A raiz é
Portanto as raízes são
, como pedido.
Passo 3
Mostrar que
é solução: calcule as derivadas de
:
Substitua na equação diferencial:
Agrupando termos:
Logo a soma é
, ou seja
satisfaz a equação diferencial. Isso conclui (a).
Passo 4
Agora vamos obter a expressão do Wronskiano. Defina o Wronskiano entre duas soluções quaisquer
e
por
Uma maneira direta é calcular a derivada de
. Diferenciando,
Como
e
são soluções da mesma equação diferencial, cada segundo membro pode ser expresso por
. Substituindo essas expressões em
obtemos
Expanda e cancele termos semelhantes:
Portanto
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Resolvendo por separação de variáveis:
logo
onde
é uma constante arbitrária. Isso conclui (b).
Passo 5
Para obter a segunda solução a partir de
e do Wronskiano usamos a identidade
Essa identidade vem simplesmente da regra do quociente e da definição de
. Agora substituímos
(do passo anterior) e
(do passo 3). Note que
assim
Integrando ambos os lados em
,
onde
é outra constante de integração. Portanto
Como
é apenas um múltiplo de
, ele não acrescenta independência linear. Para obter uma segunda solução linearmente independente podemos tomar, por exemplo,
e
, o que dá
Passo 6
Verificação rápida de que
realmente satisfaz a equação (apenas para segurança): calcule
Substituindo em
e fatorando
obtemos zero (os termos em
e os constantes se cancelam), logo
é solução. Além disso, o Wronskiano entre
e
com
é
, que não é nulo para qualquer
, garantindo independência linear.