1. (a) Considere a equação y^{\prime \prime}+2 a y^{\prime}+a^{2} y=0. Mostre que as raízes da equação característica são \lambda_{1}=\lambda_{2}=-a. Portanto, uma solução é y_{1}=e^{-a x}.
    (b) A teoria do Wronskiano nos diz que
    W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} y_{2}=c_{1} e^{-2 a x}, onde c_{1} é uma constante.
    (c) Use a línea anterior para mostrar que a segunda solução é y_{2}(x)=x e^{-a x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' + 2a y' + a^{2} y = 0
e pede três coisas:
  1. (a) Mostrar que as raízes da equação característica são \lambda_{1}=\lambda_{2}=-a e, a partir disso, que uma solução é y_{1}=e^{-a x}.
  2. (b) Mostrar que o Wronskiano satisfaz
W(y_{1},y_{2}) = c_{1} e^{-2 a x},
onde c_{1} é uma constante.
3. (c) Usar a relação do Wronskiano para encontrar uma segunda solução linearmente independente, mostrando que podemos escolher y_{2}(x)=x e^{-a x}.
As informações relevantes dadas são: a forma explícita da equação diferencial e que devemos obter a solução exponencial associada à raiz repetida e a expressão do Wronskiano. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos formar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação linear com coeficientes constantes
y'' + 2a y' + a^{2} y = 0
assumimos uma solução do tipo y=e^{\lambda x}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
\lambda^{2} + 2a\lambda + a^{2} = 0.
Agora calcule o discriminante da quadrática \lambda^{2} + 2a\lambda + a^{2}:
\Delta = (2a)^{2} - 4\cdot 1 \cdot a^{2} = 4a^{2} - 4a^{2} = 0.
Como o discriminante é \,0, a equação tem raiz dupla. A raiz é
\lambda = \frac{-2a}{2} = -a.
Portanto as raízes são \lambda_{1}=\lambda_{2}=-a, como pedido.

Passo 3

Mostrar que y_{1}=e^{-a x} é solução: calcule as derivadas de y_{1}:
y_{1}' = -a e^{-a x},\qquad y_{1}'' = a^{2} e^{-a x}.
Substitua na equação diferencial:
y_{1}'' + 2a y_{1}' + a^{2} y_{1} = a^{2} e^{-a x} + 2a(-a e^{-a x}) + a^{2} e^{-a x}.
Agrupando termos:
a^{2} e^{-a x} - 2a^{2} e^{-a x} + a^{2} e^{-a x} = 0.
Logo a soma é 0, ou seja y_{1}=e^{-a x} satisfaz a equação diferencial. Isso conclui (a).

Passo 4

Agora vamos obter a expressão do Wronskiano. Defina o Wronskiano entre duas soluções quaisquer y_{1} e y_{2} por
W(y_{1},y_{2})(x) = y_{1} y_{2}' - y_{1}' y_{2}.
Uma maneira direta é calcular a derivada de W. Diferenciando,
W' = y_{1} y_{2}'' - y_{1}'' y_{2}.
Como y_{1} e y_{2} são soluções da mesma equação diferencial, cada segundo membro pode ser expresso por y'' = -2a y' - a^{2} y. Substituindo essas expressões em W' obtemos
W' = y_{1}(-2a y_{2}' - a^{2} y_{2}) - (-2a y_{1}' - a^{2} y_{1})y_{2}.
Expanda e cancele termos semelhantes:
W' = -2a y_{1} y_{2}' - a^{2} y_{1} y_{2} + 2a y_{1}' y_{2} + a^{2} y_{1} y_{2} = -2a(y_{1} y_{2}' - y_{1}' y_{2}).
Portanto
W' = -2a W.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para W. Resolvendo por separação de variáveis:
\frac{W'}{W} = -2a \quad\Rightarrow\quad \ln|W| = -2a x + C,
logo
W(x) = c_{1} e^{-2a x},
onde c_{1}=e^{C} é uma constante arbitrária. Isso conclui (b).

Passo 5

Para obter a segunda solução a partir de y_{1} e do Wronskiano usamos a identidade
\left(\frac{y_{2}}{y_{1}}\right)' = \frac{y_{1} y_{2}' - y_{1}' y_{2}}{y_{1}^{2}} = \frac{W}{y_{1}^{2}}.
Essa identidade vem simplesmente da regra do quociente e da definição de W. Agora substituímos W(x)=c_{1} e^{-2a x} (do passo anterior) e y_{1}=e^{-a x} (do passo 3). Note que
y_{1}^{2} = e^{-2a x},
assim
\left(\frac{y_{2}}{y_{1}}\right)' = \frac{c_{1} e^{-2a x}}{e^{-2a x}} = c_{1}.
Integrando ambos os lados em x,
\frac{y_{2}}{y_{1}} = c_{1} x + c_{2},
onde c_{2} é outra constante de integração. Portanto
y_{2} = y_{1}(c_{1} x + c_{2}) = c_{1} x e^{-a x} + c_{2} e^{-a x}.
Como c_{2} e^{-a x} é apenas um múltiplo de y_{1}, ele não acrescenta independência linear. Para obter uma segunda solução linearmente independente podemos tomar, por exemplo, c_{1}=1 e c_{2}=0, o que dá
y_{2}(x) = x e^{-a x}.

Passo 6

Verificação rápida de que y_{2}(x)=x e^{-a x} realmente satisfaz a equação (apenas para segurança): calcule
y_{2}' = (1 - a x) e^{-a x},\qquad y_{2}'' = (a^{2} x - 2a) e^{-a x}.
Substituindo em y'' + 2a y' + a^{2} y e fatorando e^{-a x} obtemos zero (os termos em x e os constantes se cancelam), logo y_{2} é solução. Além disso, o Wronskiano entre y_{1} e y_{2} com c_{1}=1 é W=e^{-2a x}, que não é nulo para qualquer x, garantindo independência linear.

Resposta

\lambda_{1}=\lambda_{2}=-a,\qquad y_{1}=e^{-a x},\qquad W(y_{1},y_{2})=c_{1} e^{-2a x},\qquad y_{2}(x)=x e^{-a x}

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