Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial para todo
(no domínio em que faz sentido) e que atenda à condição inicial dada.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro uma breve revisão didática da ferramenta (para você poder usar isso na prova sem medo).
Definição: a transformada de Laplace de uma função
(assumindo
) é a função
onde
é uma variável complexa (na prática, tratamos
como um número real maior que certa constante para convergência).
Propriedades que vamos usar:
- Linearidade:
. - Transformada da derivada: se
e é conhecido, então
Explico rapidamente: isso vem de integrar por partes a definição e é muito útil para transformar EDOs em equações algébricas em
.
3. Transformada do exponencial: para
.
4. Inversa: se tivermos uma expressão racional em , usamos decomposição em frações parciais e tabelas-padrão para obter
. Exemplos úteis:
3. Transformada do exponencial:
4. Inversa: se tivermos uma expressão racional em
A segunda vem da propriedade de que
.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace à equação original. Denotando
, temos:
Pelo item 2 e 3 da revisão:
Substituindo
:
Agrupando
:
Passo 4
Isolo
. Primeiro multiplico termos para eliminar o denominador:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo
Passo 5
Agora vamos escrever
numa forma cuja transformada inversa é imediata. Note que
então
Cada parcela tem inversa conhecida (veja a revisão no Passo 2):
Passo 6
Como a transformada é linear, a solução
é a soma das inversas das parcelas obtidas. Portanto, combinando as duas inversas do Passo 5, obtemos a solução buscada.