Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime}-3 y=e^{3 t}, y(0)=1 \operatorname{Resp}: y(t)=2 e^{3 t}-e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
y'(t)-3y(t)=e^{3t},\qquad y(0)=1.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial para todo t (no domínio em que faz sentido) e que atenda à condição inicial dada.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro uma breve revisão didática da ferramenta (para você poder usar isso na prova sem medo).
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (assumindo t\ge 0) é a função
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como um número real maior que certa constante para convergência).
Propriedades que vamos usar:
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  2. Transformada da derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é conhecido, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Explico rapidamente: isso vem de integrar por partes a definição e é muito útil para transformar EDOs em equações algébricas em s.
3. Transformada do exponencial: \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a.
4. Inversa: se tivermos uma expressão racional em s, usamos decomposição em frações parciais e tabelas-padrão para obter \mathcal{L}^{-1}\{\cdot\}. Exemplos úteis:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^2}\right\}=t e^{at}.
A segunda vem da propriedade de que \mathcal{L}\{t e^{at}\} = \dfrac{1}{(s-a)^2}.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace à equação original. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos:
\mathcal{L}\{y'(t)\} - 3\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{e^{3t}\}.
Pelo item 2 e 3 da revisão:
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) - 3Y(s) = \frac{1}{s-3}.
Substituindo y(0)=1:
sY(s)-1-3Y(s)=\frac{1}{s-3}.
Agrupando Y(s):
(s-3)Y(s)-1=\frac{1}{s-3}.

Passo 4

Isolo Y(s). Primeiro multiplico termos para eliminar o denominador:
(s-3)Y(s)=1+\frac{1}{s-3}.
Multiplicando ambos os lados por (s-3):
(s-3)^2 Y(s) = (s-3)+1 = s-2.
Logo
Y(s)=\frac{s-2}{(s-3)^2}.

Passo 5

Agora vamos escrever Y(s) numa forma cuja transformada inversa é imediata. Note que
s-2 = (s-3) + 1,
então
Y(s)=\frac{(s-3)+1}{(s-3)^2}=\frac{1}{s-3}+\frac{1}{(s-3)^2}.
Cada parcela tem inversa conhecida (veja a revisão no Passo 2):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-3}\right\}=e^{3t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-3)^2}\right\}=t e^{3t}.

Passo 6

Como a transformada é linear, a solução y(t) é a soma das inversas das parcelas obtidas. Portanto, combinando as duas inversas do Passo 5, obtemos a solução buscada.

Resposta

y(t)=(1+t)e^{3t}

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