Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O problema dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução y(t):
  • Equação: y'' - y' - 6y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=-1.
O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Definição e propriedades básicas que vou usar (tudo aqui é para funções de t\ge0):
  • Transformada de Laplace: \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt. A variável de transformação é s e \mathcal{L}\{f\} é uma função de s.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada inversa: se \mathcal{L}\{f\}=F(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t).
Vou também usar as fórmulas para transformadas de derivadas (vou mostrar por que valem, assim fica claro como aplicar):
  • Para y(t) com transformada \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).Demonstração rápida: integrar por partes \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st} y'(t)\,dt = \big[e^{-st}y(t)\big]_0^\infty + s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt. O termo no infinito some para funções com crescimento adequado, e no zero fica -y(0), resultando em sY(s)-y(0).
  • E \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2 Y(s)-s y(0)-y'(0),que se obtém aplicando a fórmula anterior a y' ou integrando por partes duas vezes.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y'\}-6\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas e escrevendo \mathcal{L}\{y\}=Y(s) e usando as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=-1, obtemos:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)-\big(sY(s)-y(0)\big)-6Y(s)=0.
Agora substituir os valores iniciais explicitamente:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -(-1)\big)-\big(sY(s)-1\big)-6Y(s)=0.

Passo 4

Fazer as contas algébricas do passo anterior, coletando termos em Y(s) e termos constantes:
Primeiro expandir e agrupar:
s^{2}Y(s)-s+1 - sY(s)+1 -6Y(s)=0.
Agrupando os termos que multiplicam Y(s):
\big(s^{2}-s-6\big)Y(s) +(-s+2)=0.
Isolando Y(s):
\big(s^{2}-s-6\big)Y(s)=s-2.
Fatorando o polinômio do lado esquerdo (observe que s^{2}-s-6=(s-3)(s+2)):
Y(s)=\frac{s-2}{(s-3)(s+2)}.

Passo 5

Agora faço decomposição em frações parciais para poder aplicar a transformada inversa. Procuro constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{s-2}{(s-3)(s+2)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-3)(s+2)
s-2 = A(s+2)+B(s-3).
Expandindo o lado direito:
s-2 = (A+B)s + (2A-3B).
Igualando coeficientes (coeficiente de s e termo constante):
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 2A-3B=-2. \end{cases}
Resolver o sistema: de A=1-B\]. Substituindo na segunda equação, \[2(1-B)-3B=-2 \Rightarrow 2-2B-3B=-2 \Rightarrow -5B=-4 \Rightarrow B=\tfrac{4}{5}.\] Então \(A=1-B=1-\tfrac{4}{5}=\tfrac{1}{5}.
Portanto
Y(s)=\frac{1/5}{s-3}+\frac{4/5}{s+2}.]

Passo 6

Agora aplico a transformada inversa. Lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
y(t)=\frac{1}{5}e^{3t}+\frac{4}{5}e^{-2t}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (confirmação de que não há erro aritmético):
  • Em t=0: y(0)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}=1 (ok).
  • Derivando: y'(t)=\dfrac{3}{5}e^{3t}-\dfrac{8}{5}e^{-2t}. Em t=0: y'(0)=\dfrac{3}{5}-\dfrac{8}{5}=-1 (ok).
Tudo confere com as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{5}e^{3t}+\dfrac{4}{5}e^{-2t}

Exercícios relacionados