Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução
:
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O objetivo é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Definição e propriedades básicas que vou usar (tudo aqui é para funções de
):
- Transformada de Laplace:
. A variável de transformação é e é uma função de . - Linearidade:
. - Transformada inversa: se
então .
Vou também usar as fórmulas para transformadas de derivadas (vou mostrar por que valem, assim fica claro como aplicar):
- Para
com transformada , Demonstração rápida: integrar por partes . O termo no infinito some para funções com crescimento adequado, e no zero fica , resultando em . - E
que se obtém aplicando a fórmula anterior a ou integrando por partes duas vezes.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Substituindo as fórmulas das derivadas e escrevendo
e usando as condições iniciais
,
, obtemos:
Agora substituir os valores iniciais explicitamente:
Passo 4
Fazer as contas algébricas do passo anterior, coletando termos em
e termos constantes:
Primeiro expandir e agrupar:
Primeiro expandir e agrupar:
Agrupando os termos que multiplicam
:
Isolando
:
Fatorando o polinômio do lado esquerdo (observe que
):
Passo 5
Agora faço decomposição em frações parciais para poder aplicar a transformada inversa. Procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
dá
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes (coeficiente de
e termo constante):
Resolver o sistema: de
.
Portanto
Passo 6
Agora aplico a transformada inversa. Lembrando que
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (confirmação de que não há erro aritmético):
- Em
: (ok). - Derivando:
. Em : (ok).
Tudo confere com as condições iniciais.