Encontre a transformada de Laplace Y(s)= \mathcal{L}{y} da solução do problema de valor inicial dado. Um método para determinar a transformada inversa é desenvolvido na Seção 6.3. y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leq t<\pi, \\\\ 0, & \pi \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\right.
O que se pede: encontrar a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} da solução y(t).
Informações relevantes vindas do enunciado:
A equação diferencial e a parte direita em pedaços (peguei a definição da parte direita do enunciado).
As condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.]
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace e duas propriedades fundamentais (explicadas com calma):
Transformada de derivadas: para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} vale
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui s é a variável da transformada e y(0),y'(0) são os dados iniciais; a fórmula permite traduzir a derivada para uma expressão algébrica em s.
Função degrau (unit step) e deslocamento: a função degrau deslocada u(t-a) tem
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.
Se tivermos u(t-a)f(t-a) a transformada traz um fator e^{-a s} multiplicando \mathcal{L}\{f(t)\}. Usaremos isso para representar a parte direita, que é peçawise.
Reescrever a parte direita como combinação de degrau: para t\ge0 a função dada é 1 até t=\pi e depois 0. Isso pode ser escrito como
f(t)=1-u(t-\pi).
(PEGUEI essa expressão a partir da definição por partes do enunciado.)
Passo 3
Calcular a transformada da parte direita f(t)=1-u(t-\pi):