Encontre a transformada de Laplace Y(s)= \mathcal{L}{y} da solução do problema de valor inicial dado. Um método para determinar a transformada inversa é desenvolvido na Seção 6.3.
y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leq t<\pi, \\\\ 0, & \pi \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y= \begin{cases} 1, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 0, & \pi\le t<\infty, \end{cases} \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} da solução y(t).
Informações relevantes vindas do enunciado:
  • A equação diferencial e a parte direita em pedaços (peguei a definição da parte direita do enunciado).
  • As condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.]

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace e duas propriedades fundamentais (explicadas com calma):
  1. Transformada de derivadas: para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} vale
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui s é a variável da transformada e y(0),y'(0) são os dados iniciais; a fórmula permite traduzir a derivada para uma expressão algébrica em s.
  1. Função degrau (unit step) e deslocamento: a função degrau deslocada u(t-a) tem
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.
Se tivermos u(t-a)f(t-a) a transformada traz um fator e^{-a s} multiplicando \mathcal{L}\{f(t)\}. Usaremos isso para representar a parte direita, que é peçawise.
Reescrever a parte direita como combinação de degrau: para t\ge0 a função dada é 1 até t=\pi e depois 0. Isso pode ser escrito como
f(t)=1-u(t-\pi).
(PEGUEI essa expressão a partir da definição por partes do enunciado.)

Passo 3

Calcular a transformada da parte direita f(t)=1-u(t-\pi):
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}\{u(t-\pi)\}=\frac{e^{-\pi s}}{s}.
Então
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s}-\frac{e^{-\pi s}}{s}=\frac{1-e^{-\pi s}}{s}.

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Fazendo a transformada de cada termo (pegando y(0)=1 e y'(0)=0):
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y\}=F(s)
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+4Y(s)=F(s).
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
s^{2}Y(s)-s+4Y(s)=F(s).
Agrupando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}+4\big)=F(s)+s.

Passo 5

Isolar Y(s) e substituir F(s)=\dfrac{1-e^{-\pi s}}{s}:
Y(s)=\frac{F(s)+s}{s^{2}+4} =\frac{\dfrac{1-e^{-\pi s}}{s}+s}{s^{2}+4}.
Colocando em uma única fração no numerador:
Y(s)=\frac{s^{2}+1-e^{-\pi s}}{s\,(s^{2}+4)}.
Também se pode escrever, repartindo em termos mais explícitos,
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s(s^{2}+4)}-\frac{e^{-\pi s}}{s(s^{2}+4)}.

Resposta

Y(s)=\frac{s^{2}+1-e^{-\pi s}}{s\,(s^{2}+4)}

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