Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t e^{t}+4, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = t e^{t} + 4,\qquad y(0)=1,\;y'(0)=1
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
e tabelas de transformada para inverter no final.

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
\mathcal L\{y''\}-2\mathcal L\{y'\}+\mathcal L\{y\} =\mathcal L\{t e^t\}+\mathcal L\{4\}.
Substituindo as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=1 e sabendo que
\mathcal L\{t e^t\}=\frac{1}{(s-1)^2},\qquad \mathcal L\{4\}=\frac{4}{s},
temos
\bigl(s^2Y(s)-s-1\bigr)-2\bigl(sY(s)-1\bigr)+Y(s) =\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}.

Passo 3

Reorganizando o lado esquerdo:
(s^2-2s+1)Y(s)-\bigl(s-1\bigr) =\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s},
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(s-1)^2\,Y(s) =(s-1)+\frac{1}{(s-1)^2}+\frac{4}{s}.
Isolando Y(s):
Y(s) =\frac{s-1}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^4}+\frac{4}{s\,(s-1)^2} =\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^4}+\frac{4}{s\,(s-1)^2}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em \displaystyle\frac{4}{s\,(s-1)^2}. Procuramos
\frac{4}{s\,(s-1)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^2}.
Multiplicando por s\,(s-1)^2 obtemos
4=A(s-1)^2+B\,s(s-1)+C\,s =(A+B)s^2+(-2A-B+C)s+A.
Igualando coeficientes:
A=4,\quad A+B=0\implies B=-4,\quad -2A-B+C=0\implies C=4.
Então
\frac{4}{s\,(s-1)^2} =\frac{4}{s}-\frac{4}{s-1}+\frac{4}{(s-1)^2}.
Assim
Y(s) = \frac{4}{s}+\Bigl(\frac{1}{s-1}-\frac{4}{s-1}\Bigr) +\frac{4}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^4} = \frac{4}{s}-\frac{3}{s-1}+\frac{4}{(s-1)^2}+\frac{1}{(s-1)^4}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{4}{s}\Bigr\}=4, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{-3}{s-1}\Bigr\}=-3e^t,
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{4}{(s-1)^2}\Bigr\} =4\,t e^t, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{(s-1)^4}\Bigr\} =\frac{t^3}{3!}\,e^t=\frac{t^3}{6}\,e^t.
Somando tudo,
y(t)=4-3e^t+4\,t e^t+\frac{t^3}{6}e^t.

Resposta

y(t)=4-3e^t+4t\,e^t+\frac{t^3}{6}e^t.

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