Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' - 2y' - 3y = 3t e^{2t},
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a propriedade da transformada para derivadas e usar transformadas conhecidas de t e^{at}.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados e usando
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e
\mathcal{L}\{3t e^{2t}\}(s)=3\mathcal{L}\{t e^{2t}\}(s)=3\frac{1}{(s-2)^2},
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-1\bigr)\;-\;3Y(s) =\frac{3}{(s-2)^2}.

Passo 3

Reorganizando em função de Y(s):
(s^2-2s-3)\,Y(s)\;-\;s+2 \;=\;\frac{3}{(s-2)^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\;=\;\frac{\displaystyle \frac{3}{(s-2)^2}+s-2}{(s-3)(s+1)}.
Separamos então
Y(s) =\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} \;+\;\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)}.

Passo 4

Para a parte homogênea fazemos frações parciais:
\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} =\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+1},
com s-2=A(s+1)+B(s-3).
Resolvendo s=3\implies A=\tfrac14 e s=-1\implies B=\tfrac34.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s-2}{(s-3)(s+1)}\Bigr\} =\frac14e^{3t}+\frac34e^{-t}.

Passo 5

Para a parte forçada escrevemos
\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)} =\frac{3}{4}\,\frac{1}{(s-2)^2}\Bigl(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s+1}\Bigr)
e usamos convolução com \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-2)^2\}=t e^{2t}, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-3)\}=e^{3t}, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}.
O cálculo da convolução leva a
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)}\Bigr\} = \frac{3}{4}*\bigl(t e^{2t}*e^{3t}-t e^{2t}*e^{-t}\bigr) = e^{3t}-\bigl(t+\tfrac23\bigr)e^{2t}+\tfrac23e^{-t}.

Resposta

Somando homogênea e forçada, a solução é
\boxed{y(t)=e^{3t}-t\,e^{2t}+\frac{2}{3}\bigl(e^{-t}-e^{2t}\bigr)}.

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