Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais
e
, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a propriedade da transformada para derivadas e usar transformadas conhecidas de
.
Passo 2
Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados e usando
e
obtemos
Passo 3
Reorganizando em função de
:
Separamos então
Passo 4
Para a parte homogênea fazemos frações parciais:
com
.
Resolvendo e
.
Logo
Resolvendo
Logo
Passo 5
Para a parte forçada escrevemos
e usamos convolução com
,
,
.
O cálculo da convolução leva a
O cálculo da convolução leva a
Resposta
Somando homogênea e forçada, a solução é