Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime \prime}+4 y=e^{t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' + 4y = e^t, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo principal é usar as propriedades da transformada de Laplace, em particular a transformada de derivadas, e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos:
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) = s^2Y(s),
\mathcal{L}\{4y\} = 4Y(s),
\mathcal{L}\{e^t\} = \frac{1}{s-1}.
Logo a equação transforma-se em
s^2Y(s) + 4Y(s) = \frac{1}{s-1}.

Passo 3

Fatorando Y(s) na equação anterior:
Y(s)\bigl(s^2+4\bigr) = \frac{1}{s-1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{(s-1)\,(s^2+4)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s-1)(s^2+4)} = \frac{A}{s-1} + \frac{Bs + C}{s^2+4}.
Multiplicando tudo por (s-1)(s^2+4)
1 = A(s^2+4) + (Bs+C)(s-1).
Comparando coeficientes em s^2,\;s,\; e constante, obtemos
A + B = 0, \quad C - B = 0, \quad 4A - C = 1.
Daí A=\tfrac15, B=-\tfrac15, C=-\tfrac15. Então
Y(s) = \frac{1/5}{s-1} - \frac{1/5\,s + 1/5}{s^2+4} = \frac{1}{5}\,\frac{1}{s-1} - \frac{1}{5}\,\frac{s+1}{s^2+4}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\}=e^t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^2+4}\}=\cos(2t) e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^2+4}\}=\tfrac12\sin(2t). Assim,
y(t) = \frac{1}{5}e^t - \frac{1}{5}\Bigl[\cos(2t) + \tfrac12\sin(2t)\Bigr] = \frac{1}{5}e^t - \frac{1}{5}\cos(2t) - \frac{1}{10}\sin(2t).

Resposta

y(t) = \frac{1}{5}e^t \;-\; \frac{1}{5}\cos(2t) \;-\; \frac{1}{10}\sin(2t).

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