Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^{\prime}+6 y=e^{4 t}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(t) + 6\,y(t) = e^{4t},
com condição inicial y(0)=2, usando a transformada de Laplace. Vamos aplicar propriedades de linearidade e a transformada de derivada.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que
\mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0),
temos
s\,Y(s)-2 + 6\,Y(s) = \frac{1}{s-4}.

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando, obtemos
Y(s)\,(s+6) = \frac{1}{s-4} + 2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{(s+6)(s-4)} + \frac{2}{s+6}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em \dfrac{1}{(s+6)(s-4)}, escrevemos
\frac{1}{(s+6)(s-4)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+6}.
Como 1 = A(s+6)+B(s-4), em s=4 vem A=\tfrac{1}{10} e em s=-6 vem B=-\tfrac{1}{10}. Logo
Y(s) = \frac{1}{10}\,\frac{1}{s-4} - \frac{1}{10}\,\frac{1}{s+6} + \frac{2}{s+6} = \frac{1}{10}\,\frac{1}{s-4} + \frac{19}{10}\,\frac{1}{s+6}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa, sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
y(t) = \frac{1}{10}\,e^{4t} + \frac{19}{10}\,e^{-6t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{10}e^{4t} + \frac{19}{10}e^{-6t}.

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