Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial:
y^{\prime}+y=e^{-3 t} \cos (2 t), \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(t)+y(t)=e^{-3t}\cos(2t),\quad y(0)=0
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
  1. \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),
  2. \mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2},
    onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
\mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(2t)\}(s).
Como y(0)=0, isso vira
sY(s)+Y(s)=\frac{s+3}{(s+3)^2+4}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo, temos
(s+1)Y(s)=\frac{s+3}{(s+3)^2+4} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)\bigl((s+3)^2+4\bigr)}.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{s+3}{(s+1)\bigl((s+3)^2+4\bigr)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B(s+3)+C}{(s+3)^2+4}.
Multiplicando por (s+1)((s+3)^2+4) e comparando coeficientes obtém-se A=\tfrac14, B=-\tfrac14, C=\tfrac12. Logo
Y(s) =\frac{1/4}{s+1} -\frac{1/4\,(s+3)}{(s+3)^2+4} +\frac{1/2}{(s+3)^2+4}.

Passo 5

Invertemos cada termo:
  1. \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1/4}{s+1}\bigr\}= \tfrac14e^{-t}.
  2. \mathcal{L}^{-1}\bigl\{-\tfrac14\frac{s+3}{(s+3)^2+2^2}\bigr\} =-\tfrac14e^{-3t}\cos(2t).
  3. \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac12\frac{1}{(s+3)^2+2^2}\bigr\} =\tfrac12\cdot\tfrac1{2}e^{-3t}\sin(2t) =\tfrac14e^{-3t}\sin(2t).

Passo 6

Somando os resultados, a solução no domínio do tempo é
y(t) =\frac14e^{-t} -\frac14e^{-3t}\cos(2t) +\frac14e^{-3t}\sin(2t).

Resposta

y(t) =\frac14\,e^{-t} -\frac14\,e^{-3t}\cos(2t) +\frac14\,e^{-3t}\sin(2t).

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