4: Determine o deslocamento u(r, t) de uma membrana circular de raio c presa ao longo de sua circunferência, considere que seu deslocamento inicial seja u(r, 0)=0 e que é dada a membrana uma velocidade unitária inicial g(r).
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}\right), \quad 0<r<c, t>0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda radial em uma membrana circular e pede o deslocamento u(r,t). Informações e condições fornecidas:
  • Equação diferencial parcial:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\Big(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\Big),\qquad 0<r<c,\; t>0.
  • A membrana tem raio c e está presa ao longo da circunferência, ou seja, a condição de contorno na borda é
u(c,t)=0\quad \text{para todo } t\ge 0.
  • Condições iniciais:
u(r,0)=0\quad\text{(deslocamento inicial nulo),}
\frac{\partial u}{\partial t}(r,0)=g(r)\quad\text{(velocidade inicial dada).}
  • Regularidade em r=0: u(r,t) deve ser finita em r=0.
Estas são todas as informações do enunciado; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos tentar a separação de variáveis. Supomos uma solução do tipo
u(r,t)=R(r)\,T(t).
Substituindo na PDE,
R(r)\,T''(t)=a^{2}\Big(R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)\Big)T(t).
Dividindo por a^{2}R(r)T(t) e reagrupando obtemos
\frac{T''(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{R''(r)+\tfrac{1}{r}R'(r)}{R(r)} = -k^{2},
onde introduzimos a constante de separação -k^{2} (a escolha do sinal negativo é natural aqui porque esperamos soluções oscilatórias no tempo). Isso gera dois ODEs:
T''(t)+a^{2}k^{2}T(t)=0,
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+k^{2}R(r)=0.

Passo 3

O ODE para R(r)
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+k^{2}R(r)=0
é a equação de Bessel de ordem zero. Suas soluções gerais são combinações de J_{0}(kr) e Y_{0}(kr), onde J_{0} e Y_{0} são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, respectivamente. Como Y_{0}(kr) tem singularidade (diverge) em r=0, a condição de regularidade em r=0 exige que descartemos Y_{0}. Assim, a parte radial regular é
R(r)=C\,J_{0}(kr),
com C constante.

Passo 4

A condição de contorno na borda u(c,t)=0 implica R\text{(c)}=0. Portanto devemos ter
J_{0}(k c)=0.
Chamemos por \alpha_{n} os zeros positivos da função J_{0}, ordenados \alpha_{1}<\alpha_{2}<\cdots. Assim os valores admissíveis de k são
k_{n}=\frac{\alpha_{n}}{c},\qquad n=1,2,\dots
e os autovalores espaciais correspondentes são J_{0}(k_{n}r)=J_{0}\!\big(\tfrac{\alpha_{n}}{c}r\big).

Passo 5

A equação temporal associada é
T''(t)+a^{2}k_{n}^{2}T(t)=0,
cuja solução geral é
T_{n}(t)=A_{n}\cos(a k_{n} t)+B_{n}\sin(a k_{n} t).
Portanto, a solução geral por superposição (soma sobre os modos radiais) é
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\big[A_{n}\cos(a k_{n} t)+B_{n}\sin(a k_{n} t)\big]J_{0}(k_{n}r).

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro, u(r,0)=0 implica
\sum_{n=1}^{\infty}A_{n} J_{0}(k_{n}r)=0\quad\text{para }0\le r\le c.
Como as funções J_{0}(k_{n}r) (para diferentes n) são linearmente independentes, concluímos que todos os coeficientes A_{n} são zero:
A_{n}=0\quad\text{para todo }n.
Assim
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\sin(a k_{n} t)\,J_{0}(k_{n}r).

Passo 7

Agora usamos a condição de velocidade inicial. Temos
\frac{\partial u}{\partial t}(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} a k_{n}\cos(a k_{n} t)\,J_{0}(k_{n}r),
logo, em t=0,
\frac{\partial u}{\partial t}(r,0)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} a k_{n}\,J_{0}(k_{n}r) = g(r).
Queremos expandir g(r) na base \{J_{0}(k_{n}r)\}. Para isso precisamos da ortogonalidade dessas funções com o peso r. A propriedade essencial é:
\int_{0}^{c} r\,J_{0}(k_{n}r)\,J_{0}(k_{m}r)\,dr = 0\quad\text{se } n\ne m,
e a norma dos modos (caso n=m) é
\int_{0}^{c} r\,\big[J_{0}(k_{n}r)\big]^{2}\,dr = \frac{c^{2}}{2}\big[J_{1}(\alpha_{n})\big]^{2},
onde J_{1} é a função de Bessel de primeira ordem e \alpha_{n}=k_{n}c é o n-ésimo zero de J_{0}. Esta fórmula de normalização é um resultado padrão para zeros de J_{0} e pode ser obtida a partir das propriedades de recursão e integrais de Bessel (a demonstração pode ser dada separadamente, mas usaremos o resultado aqui).

Passo 8

Projete g(r) sobre a base. Multiplicando a expressão
g(r)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} a k_{n}\,J_{0}(k_{n}r)
por rJ_{0}(k_{m}r) e integrando de 0 a c, usando ortogonalidade, obtemos para cada m
\int_{0}^{c} r\,g(r)\,J_{0}(k_{m}r)\,dr = B_{m}\,a k_{m}\,\int_{0}^{c} r\,[J_{0}(k_{m}r)]^{2}\,dr.
Substituindo a norma temos
\int_{0}^{c} r\,g(r)\,J_{0}(k_{m}r)\,dr = B_{m}\,a k_{m}\,\frac{c^{2}}{2}\big[J_{1}(\alpha_{m})\big]^{2}.
Resolvendo para B_{m},
B_{m}=\frac{2}{a k_{m} c^{2}\,[J_{1}(\alpha_{m})]^{2}}\int_{0}^{c} r\,g(r)\,J_{0}(k_{m}r)\,dr.

Passo 9

Substituindo B_{n} na série, obtemos a solução completa:
u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{a k_{n} c^{2}\,[J_{1}(\alpha_{n})]^{2}}\int_{0}^{c} r'\,g(r')\,J_{0}(k_{n}r')\,dr'\right]\sin(a k_{n} t)\,J_{0}(k_{n}r),
onde lembramos que k_{n}=\dfrac{\alpha_{n}}{c} e \alpha_{n} é o n-ésimo zero positivo de J_{0}.

Passo 10

Resumo e observações práticas para a prova:
  • A solução é uma expansão em modos radiais J_{0}(k_{n}r) com frequências a k_{n}.
  • Para calcular numericamente os coeficientes, determine os zeros \alpha_{n} de J_{0} (tabelados), calcule k_{n}=\alpha_{n}/c, e avalie as integrais \int_{0}^{c} r\,g(r)\,J_{0}(k_{n}r)\,dr.
  • Se g(r) for uma função simples (por exemplo constante, polinomial ou outra que permita integrar com Bessel), você pode calcular as integrais analyticamen­te; caso contrário, faça aproximação numérica ou use tabelas.

Resposta

u(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{a k_{n} c^{2}\,[J_{1}(\alpha_{n})]^{2}}\int_{0}^{c} r'\,g(r')\,J_{0}(k_{n}r')\,dr'\right]\sin(a k_{n} t)\,J_{0}(k_{n}r),
com k_{n}=\dfrac{\alpha_{n}}{c} e \alpha_{n} sendo o n-ésimo zero positivo de J_{0}.

Exercícios relacionados