4: Determine o deslocamento
de uma membrana circular de raio c presa ao longo de sua circunferência, considere que seu deslocamento inicial seja
e que é dada a membrana uma velocidade unitária inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda radial em uma membrana circular e pede o deslocamento
. Informações e condições fornecidas:
- Equação diferencial parcial:
- A membrana tem raio
e está presa ao longo da circunferência, ou seja, a condição de contorno na borda é
- Condições iniciais:
- Regularidade em
: deve ser finita em .
Estas são todas as informações do enunciado; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos tentar a separação de variáveis. Supomos uma solução do tipo
Substituindo na PDE,
Dividindo por
e reagrupando obtemos
onde introduzimos a constante de separação
(a escolha do sinal negativo é natural aqui porque esperamos soluções oscilatórias no tempo). Isso gera dois ODEs:
Passo 3
O ODE para
é a equação de Bessel de ordem zero. Suas soluções gerais são combinações de
e
, onde
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, respectivamente. Como
tem singularidade (diverge) em
, a condição de regularidade em
exige que descartemos
. Assim, a parte radial regular é
com
constante.
Passo 4
A condição de contorno na borda
implica
. Portanto devemos ter
Chamemos por
os zeros positivos da função
, ordenados
. Assim os valores admissíveis de
são
e os autovalores espaciais correspondentes são
.
Passo 5
A equação temporal associada é
cuja solução geral é
Portanto, a solução geral por superposição (soma sobre os modos radiais) é
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
implica
Como as funções
(para diferentes
) são linearmente independentes, concluímos que todos os coeficientes
são zero:
Assim
Passo 7
Agora usamos a condição de velocidade inicial. Temos
logo, em
,
Queremos expandir
na base
. Para isso precisamos da ortogonalidade dessas funções com o peso
. A propriedade essencial é:
e a norma dos modos (caso
) é
onde
é a função de Bessel de primeira ordem e
é o
-ésimo zero de
. Esta fórmula de normalização é um resultado padrão para zeros de
e pode ser obtida a partir das propriedades de recursão e integrais de Bessel (a demonstração pode ser dada separadamente, mas usaremos o resultado aqui).
Passo 8
Projete
sobre a base. Multiplicando a expressão
por
e integrando de
a
, usando ortogonalidade, obtemos para cada
Substituindo a norma temos
Resolvendo para
,
Passo 9
Substituindo
na série, obtemos a solução completa:
onde lembramos que
e
é o
-ésimo zero positivo de
.
Passo 10
Resumo e observações práticas para a prova:
- A solução é uma expansão em modos radiais
com frequências . - Para calcular numericamente os coeficientes, determine os zeros
de (tabelados), calcule , e avalie as integrais . - Se
for uma função simples (por exemplo constante, polinomial ou outra que permita integrar com Bessel), você pode calcular as integrais analyticamente; caso contrário, faça aproximação numérica ou use tabelas.
Resposta
com
e
sendo o
-ésimo zero positivo de
.