Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=u2(x) e^-3 x, y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

Temos a equação diferencial com condicional de Heaviside e condições iniciais: y’’ + 3y’ + 2y = u₂(x)e^{-3x}, y(0)=1, y’(0)=-2. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e teorema do deslocamento no tempo (função degrau). Vamos usar L{y’}, L{y’’} e a fórmula L{u_a(x)f(x-a)} = e^{-as}F(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Para o lado esquerdo usamos:
Ly'' = s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
Ly' = sY(s)-y(0)
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Ly''+3Ly'+2Ly = (s^2+3s+2)Y(s) - s - 1
Para o lado direito escrevemos u2(x)e^-3x = u2(x)e^-3(x-2)e^-6 e aplicamos o teorema do deslocamento:
Lu2(x)e^-3x = e^-6e^-2s1s+3

Passo 3

Agora igualamos e isolamos Y(s):
(s^2+3s+2)Y(s) - s -1 = e^-6e^-2s1s+3
Y(s) = s+1(s+1)(s+2) + e^-6e^-2s1(s+1)(s+2)(s+3)
Observe que (s+1)/( (s+1)(s+2) ) = 1/(s+2).

Passo 4

Fatoramos a parte sem o deslocamento em frações parciais:
1(s+1)(s+2)(s+3) = 1/2s+1 - 1s+2 + 1/2s+3
Portanto
Y(s) = 1s+2 + e^-6e^-2sl(1/2s+1-1s+2+1/2s+3r)

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa. Sabendo que L{-1}{1/(s+a)}=e{-ax}, e usando o teorema do deslocamento no tempo, obtemos:
y(x) = e^-2x + e^-6,u2(x)l(tfrac12e^-(x-2) - e^-2(x-2) + tfrac12e^-3(x-2)r)

Resposta

y(x)=e{-2x}+u_{2}(x)\Bigl(\tfrac12e{-x-4}-e{-2x-2}+\tfrac12e{-3x}\Bigr)

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