Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
Temos a equação diferencial com condicional de Heaviside e condições iniciais: y’’ + 3y’ + 2y = u₂(x)e^{-3x}, y(0)=1, y’(0)=-2. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e teorema do deslocamento no tempo (função degrau). Vamos usar L{y’}, L{y’’} e a fórmula L{u_a(x)f(x-a)} = e^{-as}F(s).
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Para o lado esquerdo usamos:
Logo
Para o lado direito escrevemos
e aplicamos o teorema do deslocamento:
Passo 3
Agora igualamos e isolamos Y(s):
Observe que
.
Passo 4
Fatoramos a parte sem o deslocamento em frações parciais:
Portanto
Passo 5
Aplicamos a transformada inversa. Sabendo que L{-1}{1/(s+a)}=e{-ax}, e usando o teorema do deslocamento no tempo, obtemos:
Resposta
y(x)=e{-2x}+u_{2}(x)\Bigl(\tfrac12e{-x-4}-e{-2x-2}+\tfrac12e{-3x}\Bigr)