Encontre a transformada Laplace da seguinte função.
x & 0 <= x<1 2 & 1 <= x<3 -4 & x >= 3

Passo 1

A questão dá uma função por partes e pede a transformada de Laplace. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, cuja definição é Lf(s)=integral0^infty f(x)e^-sx,dx. Vamos usar essa definição, integração por partes e cálculo de integrais em intervalos específicos.

Passo 2

Escrevo a transformada como soma de três integrais conforme cada trecho da função:
Lf(s)=integral0^1 x,e^-sxdx+integral1^3 2,e^-sxdx+integral3^infty(-4),e^-sxdx

Passo 3

Calculo I1=integral0^1 x e^-sxdx por partes. Escolho u=x e dv=e^-sxdx, então du=dx e v=-tfrac1s e^-sx. Assim:
I1=l-xse^-sxr|0^1+1sintegral0^1 e^-sxdx= -1se^-s+1sl[-1s e^-sxr]0^1
Calculando dá
I1= -1se^-s-1s^2(e^-s-1)=1s^2l(1-e^-s(s+1)r)

Passo 4

Calculo I2=integral1^3 2e^-sxdx diretamente:
I2=2l[-1s e^-sxr]1^3=2sl(e^-s-e^-3sr)

Passo 5

Calculo I3=integral3^infty(-4)e^-sxdx usando que integrala^infty e^-sxdx=tfrac1s e^-sa:
I3=-4cdot1s e^-3s=-4se^-3s

Passo 6

Somando I1+I2+I3 e agrupando termos exponenciais:
Lf(s)=1s^2-e^-s(s+1)s^2+2se^-s-6se^-3s
Reescrevendo o pedaço com e^-s fica tfracs-1s^2e^-s.

Passo 7

Portanto a transformada de Laplace é
Lf(s)=1s^2+s-1s^2e^-s-6se^-3s

Resposta

Lf(s)=1s^2+s-1s^2e^-s-6se^-3s

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