Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0\), \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases} Passo 1O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y'(t)+y(t)=f(t),\quad y(0)=0 onde f(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\\\ 5, & t\ge1. \end{cases} O método será aplicar a transformada de Laplace, usar a transformação do degenerador de Heaviside e depois inverter a transformada. Passo 2Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando \mathcal L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s) pois y(0)=0, e \mathcal L\{y(t)\}=Y(s), obtemos sY(s)+Y(s)=\mathcal L\{f(t)\}. Assim (s+1)\,Y(s)=\mathcal L\{f(t)\}. Passo 3Como f(t)=5\,u(t-1), sua transformada é \mathcal L\{f(t)\} =\mathcal L\{5\,u(t-1)\} =5\frac{e^{-s}}{s}. Logo a equação transformada fica (s+1)\,Y(s)=5\frac{e^{-s}}{s}. Passo 4Isolando Y(s) temos Y(s)=5\,\frac{e^{-s}}{s(s+1)}. Passo 5Fazemos frações parciais em \dfrac{1}{s(s+1)}: \frac{1}{s(s+1)} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}. Portanto Y(s) =5\,e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\Bigr). Passo 6Para inverter usamos o teorema do deslocamento: se \mathcal L\{g(t)\}=G(s) então \mathcal L\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s). Aqui G(s)=5\bigl(\tfrac1s-\tfrac1{s+1}\bigr) tem inversa g(t)=5(1-e^{-t}). Logo y(t) =\mathcal L^{-1}\{Y(s)\} =\mathcal L^{-1}\{e^{-s}G(s)\} =u(t-1)\,g(t-1) =5\,u(t-1)\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr). RespostaPara t<1: y(t)=0. Para t\ge1: y(t)=5\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUse a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0\), \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases} Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0\), \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases} Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0