Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime}+y=f(t), y(0)=0\), \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 5, & \text { se } t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t)+y(t)=f(t),\quad y(0)=0
onde
f(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\\\ 5, & t\ge1. \end{cases}
O método será aplicar a transformada de Laplace, usar a transformação do degenerador de Heaviside e depois inverter a transformada.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando \mathcal L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s) pois y(0)=0, e \mathcal L\{y(t)\}=Y(s), obtemos
sY(s)+Y(s)=\mathcal L\{f(t)\}.
Assim
(s+1)\,Y(s)=\mathcal L\{f(t)\}.

Passo 3

Como
f(t)=5\,u(t-1),
sua transformada é
\mathcal L\{f(t)\} =\mathcal L\{5\,u(t-1)\} =5\frac{e^{-s}}{s}.
Logo a equação transformada fica
(s+1)\,Y(s)=5\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 4

Isolando Y(s) temos
Y(s)=5\,\frac{e^{-s}}{s(s+1)}.

Passo 5

Fazemos frações parciais em \dfrac{1}{s(s+1)}:
\frac{1}{s(s+1)} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}.
Portanto
Y(s) =5\,e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\Bigr).

Passo 6

Para inverter usamos o teorema do deslocamento:
se \mathcal L\{g(t)\}=G(s) então \mathcal L\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Aqui G(s)=5\bigl(\tfrac1s-\tfrac1{s+1}\bigr) tem inversa g(t)=5(1-e^{-t}). Logo
y(t) =\mathcal L^{-1}\{Y(s)\} =\mathcal L^{-1}\{e^{-s}G(s)\} =u(t-1)\,g(t-1) =5\,u(t-1)\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr).

Resposta

Para t<1: y(t)=0.
Para t\ge1:
y(t)=5\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr).

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