Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com condições iniciais nulas:
O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos usar a propriedade de linearidade, as transformadas de derivadas e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Seja
e
. Como
e
, tem-se
Logo,
Passo 3
Colocando
em evidência,
Passo 4
Reconhecemos o denominador completando o quadrado:
Sabemos que
Logo o núcleo de resposta ao impulso é
Passo 5
Pela propriedade da transformada de convolução, a solução é