Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com condições iniciais nulas:
y'' + 2\,y' + 2\,y = f(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos usar a propriedade de linearidade, as transformadas de derivadas e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Seja \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Como y(0)=0 e y'(0)=0, tem-se
\mathcal{L}\{y''\}=s^2\,Y(s),\quad \mathcal{L}\{y'\}=s\,Y(s).
Logo,
s^2\,Y(s) + 2\bigl(s\,Y(s)\bigr) + 2\,Y(s) = F(s).

Passo 3

Colocando Y(s) em evidência,
Y(s)\,\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr) = F(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{F(s)}{s^2 + 2s + 2}.

Passo 4

Reconhecemos o denominador completando o quadrado:
s^2 + 2s + 2 = (s+1)^2 + 1.
Sabemos que
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\} = \frac{1}{(s+1)^2 + 1}.
Logo o núcleo de resposta ao impulso é
h(t) = \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+2s+2}\Bigr\} = e^{-t}\,\sin t.

Passo 5

Pela propriedade da transformada de convolução, a solução é
y(t) = \bigl(h * f\bigr)(t) = \int_{0}^{t} h(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau = \int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,f(\tau)\,d\tau.

Resposta

\mathcal{L}\{y(t)\}=\frac{F(s)}{s^2+2s+2}, \quad y(t)=\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)}\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,f(\tau)\,d\tau.

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