Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO
y'' + 4\,y = f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
Vamos usar a propriedade linear da transformada e a transformada de derivadas para obter Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} em função de F(s)=\mathcal L\{f(t)\}.

Passo 2

Aplicando \mathcal L nos dois lados e usando y(0)=0 e y'(0)=0, temos
\mathcal L\{y''\} = s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) = s^2Y(s),
então a equação transformada é
s^2Y(s) + 4\,Y(s) = F(s).

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s) = \frac{F(s)}{s^2 + 4}.
Como \mathcal L\{\sin(2t)\} = \tfrac{2}{s^2+4}, segue que
\frac{1}{s^2+4} = \frac{1}{2}\,\mathcal L\{\sin(2t)\}.

Passo 4

Substituindo em Y(s) e aplicando o teorema da convolução, obtemos
Y(s) = F(s)\,\frac{1}{2}\,\mathcal L\{\sin(2t)\} \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,f(\tau)\,d\tau.

Resposta

y(t) = \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,f(\tau)\,d\tau.

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