Dado y=sen x-cos x (a) encontre todos os pontos nos quais o gráfico para os quais a reta tangente é horizontal; (b) encontre a inclinação da reta tangente nos pontos onde o gráfico intersecta o eixo- x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função y = sen x – cos x e pede (a) os pontos onde a reta tangente é horizontal e (b) a inclinação da reta tangente nos pontos em que o gráfico corta o eixo-x. Vamos usar derivadas para isso.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y em relação a x para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Como y = sen x – cos x, temos
y' = dydx = cos x + sin x

Passo 3

(a) Para tangente horizontal, queremos y’ = 0. Assim:
cos x + sin x = 0 Longrightarrow sin x = -cos x Longrightarrow tan x = -1

Passo 4

Logo,
x = -tfracpi4 + npi, ninZ

Passo 5

Para cada um desses x, calculamos y:
y = sinl(-tfracpi4+npir) - cosl(-tfracpi4+npir) = (-1)^n+1raiz2

Passo 6

Portanto, os pontos de tangente horizontal são
l(-tfracpi4+npi,;(-1)^n+1raiz2r), ninZ

Passo 7

(b) Agora achamos onde y = 0 (intersecção com o eixo-x):
sin x - cos x = 0 Longrightarrow tan x = 1 Longrightarrow x = tfracpi4 + npi

Passo 8

Em cada um desses pontos, a inclinação é
y' = cos x + sin x = (-1)^nraiz2 Ou seja, nos pontos de interseção com o eixo-x a reta tangente tem inclinação alternadamente √2 (para n par) e -√2 (para n ímpar).

Resposta

(a) Pontos onde a reta tangente é horizontal: l(-tfracpi4+npi,;(-1)^n+1raiz2r), ninZ (b) Nos pontos em que o gráfico cruza o eixo-x, x=tfracpi4+npi, a inclinação da reta tangente é y'=(-1)^nraiz2, i.e. alterna entre +√2 (n par) e -√2 (n ímpar).

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