Dado
(a) encontre todos os pontos nos quais o gráfico para os quais a reta tangente é horizontal; (b) encontre a inclinação da reta tangente nos pontos onde o gráfico intersecta o eixo-
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função y = sen x – cos x e pede (a) os pontos onde a reta tangente é horizontal e (b) a inclinação da reta tangente nos pontos em que o gráfico corta o eixo-x. Vamos usar derivadas para isso.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de y em relação a x para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Como y = sen x – cos x, temos
Passo 3
(a) Para tangente horizontal, queremos y’ = 0. Assim:
Passo 4
Logo,
Passo 5
Para cada um desses x, calculamos y:
Passo 6
Portanto, os pontos de tangente horizontal são
Passo 7
(b) Agora achamos onde y = 0 (intersecção com o eixo-x):
Passo 8
Em cada um desses pontos, a inclinação é
Resposta
(a) Pontos onde a reta tangente é horizontal:
(b) Nos pontos em que o gráfico cruza o eixo-x,
, a inclinação da reta tangente é
, i.e. alterna entre +√2 (n par) e -√2 (n ímpar).