Use o TVI para mostrar que a equação
x^{3}-x-1=0
possui pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação x^3 - x - 1 = 0 possui pelo menos uma raiz no intervalo [1,2]. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo necessariamente anula-se em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^3 - x - 1.
Por ser um polinômio, f é contínua em todo \mathbb{R}, e em particular em [1,2].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades:
f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1,
f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5.
Observamos que f(1) = -1 < 0 e f(2) = 5 > 0, ou seja, há mudança de sinal no intervalo [1,2].

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua em [1,2] e f(1)\cdot f(2) < 0, existe pelo menos um ponto c\in(1,2) tal que
f\text{(c)} = 0.

Resposta

Pelo TVI, a equação x^3 - x - 1 = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].

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