(4.0) Useo método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros para achar a solução geral da seguinte EDO
3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\frac{2}{3} y=e^{-\frac{1}{3} t} \cos (t / 3)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de coeficientes constantes
3y'' + 2y' + \tfrac{2}{3}y = e^{-t/3}\cos\bigl(t/3\bigr).
O conteúdo principal aqui é: (i) resolver a homogênea por equação característica e (ii) usar o método dos coeficientes indeterminados ajustado (multiplicando por t) para o termo ressonante e^{-t/3}\cos(t/3).

Passo 2

A equação característica da parte homogênea 3y''+2y'+\tfrac23y=0 é
3r^2+2r+\tfrac{2}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 9r^2+6r+2=0 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{-6\pm\sqrt{36-72}}{18} = -\tfrac13 \pm \tfrac{i}{3}.
Logo
y_h(t) = e^{-t/3}\bigl(C_1\cos(t/3)+C_2\sin(t/3)\bigr).

Passo 3

O termo forçante é e^{-t/3}\cos(t/3), que coincide com a forma da solução homogênea (ressonância de ordem 1). Então tentamos
y_p(t) = t\,e^{-t/3}\bigl(A\cos(t/3)+B\sin(t/3)\bigr).

Passo 4

Defina U(t)=A\cos(t/3)+B\sin(t/3). Calcula-se y_p',y_p'' e substitui em 3y_p''+2y_p'+\tfrac23y_p. Após simplificar, encontra-se
3y_p''+2y_p'+\tfrac23y_p =6\,e^{-t/3}U'(t).
Mas
U'(t)=-\tfrac{A}{3}\sin(t/3)+\tfrac{B}{3}\cos(t/3),
logo
6\,e^{-t/3}U'(t) =2\,e^{-t/3}\bigl(-A\sin(t/3)+B\cos(t/3)\bigr).

Passo 5

Igualando ao lado direito e^{-t/3}\cos(t/3), temos
2\bigl(-A\sin(t/3)+B\cos(t/3)\bigr)=\cos(t/3).
Comparando coeficientes de \cos(t/3) e \sin(t/3)
2B=1\quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac12, \qquad -2A=0\quad\Longrightarrow\quad A=0.
Assim
y_p(t)=\tfrac12\,t\,e^{-t/3}\sin(t/3).

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(t) = e^{-t/3}\bigl(C_1\cos(t/3)+C_2\sin(t/3)\bigr) + \tfrac12\,t\,e^{-t/3}\sin(t/3). }

Exercícios relacionados