(2.0) Escreva a solução geral da seguinte EDO
(Dica:
é uma das soluções)
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear homogênea com coeficientes constantes
e sugere que
é uma solução. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: assumir
, obter a equação em
, encontrar todas as raízes e montar a solução geral.
Passo 2
Assumindo
, suas derivadas são
,
,
. Substituindo na EDO e dividindo por
, obtemos o polinômio característico
Passo 3
Como
é solução,
é raiz desse polinômio. Para fatorar, dividimos
por
. Pela divisão sintética ou polinomial, resulta
Passo 4
O fator quadrático é
cuja única raiz é
com multiplicidade 2. Logo,
é raiz de multiplicidade total 3.
Passo 5
Para uma raiz
de multiplicidade
, as soluções independentes são
Como
tem multiplicidade 3, as três soluções lineares independentes são
A combinação linear delas fornece a solução geral.
Resposta
A solução geral é: