(2.0) Escreva a solução geral da seguinte EDO
y^{(3)}-6 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}-8 y=0
(Dica: y=e^{2 t} é uma das soluções)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea com coeficientes constantes
y^{(3)} - 6y'' + 12y' - 8y = 0
e sugere que y=e^{2t} é uma solução. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: assumir y=e^{rt}, obter a equação em r, encontrar todas as raízes e montar a solução geral.

Passo 2

Assumindo y=e^{rt}, suas derivadas são y'=r e^{rt}, y''=r^2e^{rt}, y^{(3)}=r^3e^{rt}. Substituindo na EDO e dividindo por e^{rt}\neq0, obtemos o polinômio característico
r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = 0.

Passo 3

Como y=e^{2t} é solução, r=2 é raiz desse polinômio. Para fatorar, dividimos
r^3 - 6r^2 + 12r - 8
por (r-2). Pela divisão sintética ou polinomial, resulta
(r-2)\bigl(r^2 - 4r + 4\bigr) = 0.

Passo 4

O fator quadrático é
r^2 - 4r + 4 = 0,
cuja única raiz é r=2 com multiplicidade 2. Logo, r=2 é raiz de multiplicidade total 3.

Passo 5

Para uma raiz r_0 de multiplicidade m, as soluções independentes são
e^{r_0 t},\; t\,e^{r_0 t},\; t^2 e^{r_0 t},\;\dots,\;t^{m-1}e^{r_0 t}.
Como r_0=2 tem multiplicidade 3, as três soluções lineares independentes são
e^{2t},\quad t\,e^{2t},\quad t^2 e^{2t}.
A combinação linear delas fornece a solução geral.

Resposta

A solução geral é:
y(t) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,t + C_{3}\,t^{2}\bigr)\,e^{2t}

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