7- Na usina hidrelétrica de Itaipu, existem 10 máquinas do lado paraguaio que geram tensão em 50 Hz e possuem 66 polos, enquanto as do lado brasileiro geram tensão em 60 Hz com 78 polos. Com que velocidade (em rpm) giram as máquinas de cada país?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Do lado paraguaio: frequência f_{\text{Paraguai}}=50\\ \text{Hz} e número de polos P_{\text{Paraguai}}=66.
  • Do lado brasileiro: frequência f_{\text{Brasil}}=60\\ \text{Hz} e número de polos P_{\text{Brasil}}=78.
  • Pergunta: determinar a velocidade de rotação (em rpm) das máquinas de cada país.
Observação: o número de máquinas (10) não é necessário para calcular a velocidade de cada máquina.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em máquinas síncronas, a frequência elétrica f (em Hz) está relacionada à velocidade mecânica N (em rpm) e ao número de polos P pela fórmula
f = \frac{N}{60}\cdot\frac{P}{2}.
Explicando cada termo:
  • N é a velocidade do eixo em rotações por minuto (rpm).
  • \dfrac{N}{60} converte rpm para rotações por segundo (rps).
  • P é o número total de polos magnéticos; cada par de polos ( P/2) gera uma ciclo elétrico por rotação mecânica.
  • Assim, \dfrac{N}{60}\cdot\dfrac{P}{2} é o número de ciclos elétricos por segundo, isto é, a frequência f.
Isolando N na fórmula obtemos a expressão prática para velocidade síncrona:
N = \frac{120\,f}{P}.
Essa é a fórmula que usaremos. Ela é muito prática na prova: basta multiplicar 120 pela frequência e dividir pelo número de polos.

Passo 3

Cálculo da velocidade das máquinas do Paraguai:
  • Substituindo f_{\text{Paraguai}}=50 e P_{\text{Paraguai}}=66 na fórmula:
N_{\text{Paraguai}} = \frac{120\cdot 50}{66}.
  • Calculando numerador e simplificando:
\frac{120\cdot50}{66}=\frac{6000}{66}=\frac{1000}{11}.
  • Dividindo 1000 por 11 manualmente: 11 cabe 90 vezes em 990, sobra 10. Isso gera a parte decimal periódica 90,9090\ldots. Logo
N_{\text{Paraguai}}=\frac{1000}{11}\\ \text{rpm}\approx 90,909\ldots\\ \text{rpm}.

Passo 4

Cálculo da velocidade das máquinas do Brasil:
  • Substituindo f_{\text{Brasil}}=60 e P_{\text{Brasil}}=78 na fórmula:
N_{\text{Brasil}} = \frac{120\cdot 60}{78}.
  • Calculando numerador e simplificando:
\frac{120\cdot60}{78}=\frac{7200}{78}=\frac{1200}{13}.
  • Dividindo 1200 por 13 manualmente: 13 cabe 92 vezes em 1196, sobra 4. A parte decimal resulta em 92,307692\ldots (periódico). Assim
N_{\text{Brasil}}=\frac{1200}{13}\\ \text{rpm}\approx 92,308\ldots\\ \text{rpm}.

Passo 5

Interpretação curta e dica para prova:
  • As velocidades são baixas (por volta de 90 93 rpm) porque as máquinas têm muitos polos; muitas usinas hidrelétricas usam muitos polos para obter baixa velocidade síncrona sem caixa de redução.
  • Na prova: memorize a fórmula N=\dfrac{120\,f}{P}. Quando der frequência e polos, é só substituir e, se precisar, simplificar a fração antes de dividir manualmente (como fizemos aqui).

Resposta

N_{\text{Paraguai}}=\dfrac{1000}{11}\\ \text{rpm}\approx 90,909\ldots\\ \text{rpm}
N_{\text{Brasil}}=\dfrac{1200}{13}\\ \text{rpm}\approx 92,307692\ldots\\ \text{rpm}

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