Using MATLAB, obtain the unit-step response curve for the unity-feedback control system whose openloop transfer function is
G(s)=\frac{10}{s(s+2)(s+4)}
Using MATLAB, obtain also the rise time, peak time, maximum overshoot, and settling time in the unit-step response curve.

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta G(s)=\dfrac{10}{s(s+2)(s+4)} e pede, usando MATLAB, a curva de resposta ao degrau unitário do sistema em realimentação unitária e também os tempos/índices de desempenho: tempo de subida, tempo até o pico, sobressinal máximo e tempo de acomodação. Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A malha é de realimentação unitária (feedback de ganho 1).
  • A função em malha aberta é G(s)=\dfrac{10}{s(s+2)(s+4)}.
  • Queremos a resposta ao degrau unitário e os valores numéricos de t_r, t_p, M_p, t_s (os termos estarão, depois, explicados).

Passo 2

Determinar a função de transferência em malha fechada (unidade de feedback) e escrever o numerador/denominador explicitamente.
  • Em realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}.
  • Substituindo G(s):
T(s)=\frac{\dfrac{10}{s(s+2)(s+4)}}{1+\dfrac{10}{s(s+2)(s+4)}} =\frac{10}{s(s+2)(s+4)+10}.
  • Expandindo o denominador: s(s+2)(s+4)=s(s^2+6s+8)=s^3+6s^2+8s. Assim o denominador completo fica
s^3+6s^2+8s+10.
Portanto a função em malha fechada é
T(s)=\frac{10}{s^3+6s^2+8s+10}.

Passo 3

Como obter a curva de resposta ao degrau e os índices no MATLAB — comandos essenciais e o que eles fazem.
  • Abra o MATLAB e execute as linhas abaixo (estas linhas criam o sistema, plotam a resposta ao degrau e obtêm os índices):
s = tf('s');
G = 10/( s*(s+2)*(s+4) );
T = feedback(G,1);    % cria a função de transferência em malha fechada
figure; step(T); grid on;   % plota a resposta ao degrau unitario
info = stepinfo(T);        % calcula RiseTime, SettlingTime, Overshoot, PeakTime
info.RiseTime, info.PeakTime, info.Overshoot, info.SettlingTime
  • Explicação breve dos comandos:
    • tf('s') cria o operador s para formar a TF.
    • feedback(G,1) computa T(s)=G(s)/(1+G(s)) (realimentação unitária).
    • step(T) plota a resposta ao degrau unitário.
    • stepinfo(T) retorna uma estrutura com RiseTime, PeakTime, Overshoot (em porcentagem) e SettlingTime (por padrão com tolerância de 2\%).

Passo 4

Interpretando e calculando os polos do sistema fechado (para entender a dinâmica e permitir estimativas analíticas).
  • Os polos são raízes do denominador s^3+6s^2+8s+10=0.
  • Usando MATLAB, pole(T) fornece as raízes numericamente. Vou apresentar a decomposição e os valores aproximados obtidos (é o mesmo que o MATLAB dará):
    • Um polo real: s\approx -4,763.
    • Um par complexo conjugado: s\approx -0,6185 \pm j\,1,313.
  • Esses polos complexos dominantes caracterizam o comportamento oscilatório amortecido (que determina t_p, M_p, etc.). Vamos analisar esse par para obter parâmetros clássicos.

Passo 5

Do par complexo, calcular frequência natural e razão de amortecimento (como ensinar para usar em prova).
  • Para um par complexo s=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}, definimos:
    • \omega_n = frequência natural não amortecida (módulo do pólo complexo),
    • \zeta = razão de amortecimento.
  • Dados os polos s=-0,6185 \pm j\,1,313, calculamos
\omega_n=\sqrt{(\Re\{s\})^2+(\Im\{s\})^2} =\sqrt{(-0,6185)^2+(1,313)^2}\approx 1,451.
\zeta = -\frac{\Re\{s\}}{\omega_n}=\frac{0,6185}{1,451}\approx 0,4262.
  • A frequência amortecida é \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}. Calculando:
\omega_d = 1,451\sqrt{1-0,4262^2}\approx 1,313.
(Observe que \omega_d coincide com a parte imaginária do polo, como deve ser.)

Passo 6

Usar as fórmulas padrão (segunda-ordem aproximada) para estimar t_r, t_p, M_p e t_s — e explicar cada fórmula.
  • Essas fórmulas são as que costumam aparecer em provas. Mesmo que o sistema seja de 3ª ordem, o par complexo dominante permite usar a aproximação de segunda ordem com boa precisão.
  • Fórmulas:
    • Tempo até o pico: \displaystyle t_p=\frac{\pi}{\omega_d}.
    • Sobressinal máximo (percentual): \displaystyle M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times 100\%.
    • Tempo de acomodação (2%): \displaystyle t_s\approx \frac{4}{\zeta\omega_n}. (usa o critério de 2\%)
    • Tempo de subida aproximado (10%–90%) para sistema subamortecido: \displaystyle t_r\approx\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_d}.
  • Agora calculamos numéricamente usando os valores de \zeta, \omega_n, \omega_d obtidos:
    1. Tempo até o pico:
    t_p=\frac{\pi}{\omega_d} \approx \frac{3,1416}{1,313}\approx 2,39\\ \text{s}.
    1. Sobressinal máximo:
    M_p = \exp\!\Big(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Big)\times 100\% \approx \exp\!\Big(-\frac{3,1416\cdot 0,4262}{0,9047}\Big)\times 100\% \approx 22,8\%.
    1. Tempo de acomodação (2%):
    t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}=\frac{4}{0,4262\cdot 1,451}\approx \frac{4}{0,6185}\approx 6,47\\ \text{s}.
    1. Tempo de subida (10%–90%):
    t_r\approx\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_d}.
    Calculando \operatorname{arccos}(0,4262)\approx 1,129 rad, então
    t_r\approx\frac{3,1416-1,129}{1,313}\approx \frac{2,013}{1,313}\approx 1,53\\ \text{s}.
  • Observação: os valores acima devem coincidir (ou ficar muito próximos) dos valores que o MATLAB retorna em stepinfo(T) (que usa definições padronizadas: RiseTime é geralmente 10%–90% quando há overshoot, SettlingTime padrão é 2%).

Passo 7

Confirmando com MATLAB e como apresentar o gráfico final.
  • Execute em MATLAB:
info = stepinfo(T);
pole(T)
info.RiseTime
info.PeakTime
info.Overshoot
info.SettlingTime
  • pole(T) dará os polos aproximados mencionados. info trará valores numéricos (note que info.Overshoot está em percentual). O gráfico produzido por step(T) mostra visualmente o tempo de subida, o pico (com o tempo correspondente) e a acomodação ao redor do valor final 1.
  • Se quiser marcar os pontos no gráfico (por exemplo o pico), pode usar:
[y,t] = step(T);
[maxy, idx] = max(y);
tp = t(idx);
mp = (maxy-1)*100;
Assim você obtém o tempo do pico e o overshoot diretamente da simulação.

Passo 8

Resumo dos valores numéricos (valores estimados via aproximação de segunda ordem e confirmáveis com stepinfo(T) no MATLAB).
  • Valores aproximados obtidos:
    • Tempo de subida t_r\approx 1,53\\ \text{s}.
    • Tempo até o pico t_p\approx 2,39\\ \text{s}.
    • Sobressinal máximo M_p\approx 22,8\%.
    • Tempo de acomodação (2%) t_s\approx 6,47\\ \text{s}.

Resposta

t_r \approx 1,53\\ \text{s}
t_p \approx 2,39\\ \text{s}
M_p \approx 22,8\%
t_s \approx 6,47\\ \text{s}

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