Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{2 z}{z^{2}-9} d z,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=2} \frac{2z}{z^{2}-9}\,dz.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O caminho de integração é a circunferência |z|=2 (orientada positivamente, no sentido anti-horário).
  • A função integranda é f(z)=\dfrac{2z}{z^{2}-9}.
  • Os pontos onde o denominador se anula (possíveis singularidades) são as soluções de z^{2}-9=0, ou seja z=\pm 3.
  • Devemos usar teoremas de Cauchy (teorema integral de Cauchy, fórmula de Cauchy ou consequências) para avaliar a integral.

Passo 2

Identificar a natureza das singularidades e sua posição relativa ao contorno. As singularidades são z=3 e z=-3. Vou verificar se alguma delas está dentro do disco fechado \{z:|z|\le 2\} (a região interior à curva |z|=2).

Passo 3

Mostro que ambas as singularidades estão fora do disco |z|\le 2. Para isso uso a desigualdade do módulo:
  • Se |z|\le 2 então |z^{2}| = |z|^{2} \le 2^{2}=4.
  • Pela desigualdade triangular reversa (ou desigualdade triangular aplicada a 9-(z^{2})):
|z^{2}-9| \ge \bigl|\,|9|-|z^{2}|\,\bigr| = 9- |z^{2}| \ge 9-4=5>0.
Portanto, para todo z com |z|\le 2 o denominador z^{2}-9 não se anula, logo f(z) é analítica (holomorfa) em todo o disco fechado \{z:|z|\le 2\}. Em particular, z=3 e z=-3 não pertencem à região interior nem à curva |z|=2 (eles estão a distância 3 da origem, fora da circunferência de raio 2).

Passo 4

Apresento o teorema que vou usar (forma simples e intuitiva): se uma função f é analítica em uma vizinhança aberta que contém um caminho fechado simples \gamma e sua região interior, então
\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 0.
Intuição curta: integrando uma função holomorfa ao redor de um laço fechado, os contributions “se cancelam” — formalmente isso vem do fato de que funções holomorfas têm primitiva localmente, e a integral de uma derivada ao longo de um laço fechado é zero.

Passo 5

Aplicando o teorema ao nosso caso: vimos que f(z)=\dfrac{2z}{z^{2}-9} é holomorfa em uma vizinhança que contém a curva |z|=2 e seu interior (porque os polos em \pm 3 estão fora). Logo, por Cauchy,
\oint_{|z|=2} \frac{2z}{z^{2}-9}\,dz = 0.
Comentário alternativo (verificação rápida com resíduos): pelo teorema dos resíduos, a integral é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dentro da curva. Como não há polos dentro de |z|<2, a soma dos resíduos é 0 e a integral também é 0. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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