Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle
:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral complexa ao redor do círculo
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O caminho de integração é o círculo de raio
centrado na origem. Vou usar a orientação positiva (contra‑horária), que é a convenção padrão quando não é especificado o contrário. - O integrando é
. - Há uma singularidade aparente em
porque o denominador se anula lá. - O ponto
satisfaz , logo está dentro do círculo . - A função
é inteira (analítica em todo ), então qualquer problema de analiticidade do integrando vem só do fator .
Passo 2
Explicação didática do teorema que vamos usar (fórmula integral de Cauchy).
A versão que nos interessa é a seguinte:
A versão que nos interessa é a seguinte:
O que isso diz, em palavras simples:
- Se você tem uma função
sem singularidades dentro e sobre uma curva fechada , então a integral da função ao redor de é exatamente vezes o valor de no ponto (desde que esteja dentro de ). - As hipóteses importantes são:
analítica no disco que contém e seu interior, e dentro de . A orientação positiva de é assumida.
Vou explicar rapidamente por que essa fórmula é plausível sem provas técnicas: é uma consequência do teorema integral de Cauchy e da ideia de que
tem uma “contribuição principal” quando integramos ao redor de
. Outra forma equivalente e muitas vezes prática é pensar em termos de resíduos: a integral de uma função meromorfa ao redor de um círculo é
vezes a soma dos resíduos dos polos dentro do círculo. Para um polo simples de
em
, o resíduo é
, recuperando a fórmula acima.
Passo 3
Verificação das hipóteses para aplicar a fórmula no nosso caso.
- Tome
. Sabemos que é analítica em todo , portanto é analítica em particular no interior e na fronteira do círculo . - O ponto
que causa a singularidade é , e já observei que está dentro do círculo . - Logo todas as hipóteses da fórmula integral de Cauchy estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicação direta da fórmula integral de Cauchy.
Pela fórmula, com e
,
Pela fórmula, com
Agora calculamos
:
Passo 5
Conclusão final do cálculo usando o valor de
.
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
Substituindo