Using the Cauchy theorem, Cauchy integral formula, or their consequences, evaluate the following integrals, all taken around the circle |z|=2 :
\oint \frac{e^{z}}{z-1} d z,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral complexa ao redor do círculo |z|=2
\oint_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z-1}\,dz.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O caminho de integração é o círculo de raio 2 centrado na origem. Vou usar a orientação positiva (contra‑horária), que é a convenção padrão quando não é especificado o contrário.
  • O integrando é \dfrac{e^{z}}{z-1}.
  • Há uma singularidade aparente em z=1 porque o denominador se anula lá.
  • O ponto z=1 satisfaz |1|=1<2, logo z=1 está dentro do círculo |z|=2.
  • A função e^{z} é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), então qualquer problema de analiticidade do integrando vem só do fator (z-1)^{-1}.

Passo 2

Explicação didática do teorema que vamos usar (fórmula integral de Cauchy).
A versão que nos interessa é a seguinte:
\text{Se } f \text{ é analítica em uma região que contém uma curva simples fechada }C\text{ e seu interior, e }a \text{ está no interior de }C,éíãéá
\text{então } \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = f(a).ã
O que isso diz, em palavras simples:
  • Se você tem uma função f(z) sem singularidades dentro e sobre uma curva fechada C, então a integral da função \dfrac{f(z)}{z-a} ao redor de C é exatamente 2\pi i vezes o valor de f no ponto a (desde que a esteja dentro de C).
  • As hipóteses importantes são: f analítica no disco que contém C e seu interior, e a dentro de C. A orientação positiva de C é assumida.
Vou explicar rapidamente por que essa fórmula é plausível sem provas técnicas: é uma consequência do teorema integral de Cauchy e da ideia de que \dfrac{1}{z-a} tem uma “contribuição principal” quando integramos ao redor de a. Outra forma equivalente e muitas vezes prática é pensar em termos de resíduos: a integral de uma função meromorfa ao redor de um círculo é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos dentro do círculo. Para um polo simples de \dfrac{f(z)}{z-a} em z=a, o resíduo é f(a), recuperando a fórmula acima.

Passo 3

Verificação das hipóteses para aplicar a fórmula no nosso caso.
  • Tome f(z)=e^{z}. Sabemos que e^{z} é analítica em todo \mathbb{C}, portanto é analítica em particular no interior e na fronteira do círculo |z|=2.
  • O ponto a que causa a singularidade é a=1, e já observei que 1 está dentro do círculo |z|=2.
  • Logo todas as hipóteses da fórmula integral de Cauchy estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicação direta da fórmula integral de Cauchy.
Pela fórmula, com f(z)=e^{z} e a=1,
\oint_{|z|=2}\frac{e^{z}}{z-1}\,dz = 2\pi i\, f(1).
Agora calculamos f(1):
f(1)=e^{1}=e.

Passo 5

Conclusão final do cálculo usando o valor de f(1).
Substituindo f(1)=e na expressão do passo anterior obtemos
\oint_{|z|=2}\frac{e^{z}}{z-1}\,dz = 2\pi i\, e.

Resposta

2\pi i e

Exercícios relacionados